ナンプレ完成形はどこまで増やせる?
ナンプレの完成形はいったいいくつあるんだろう?
そんなことを考えていたら、ふと思いました。
「完成形が1コできたら、それをもとにして他の完成形はいくつできるんだろう?」
そんなワケで、完成形が何通りあるのか考えてみました。
……んなこと考えても、意味ないんスけどね。

加 筆
2002. 5.11. : 「6.スゴイ ! ! ……と思いきや」を加筆しました。



 1.まずは数字をいろいろ置き換えて……

 さて、まず、もととなる完成形をひとつ挙げちゃいます。右の青色を。(以下、それを原型と言うことにしますね)
 これをもとに、いろんな完成形をつくってみましょう!

 まぁ、まず考えられるのは“数字の置き換え”ですね。
 ナンプレにおいては数字は単なる文字記号なのだから、数字をいろいろ置き換えてしまえば簡単に別の完成形がつくれますよね。
 チョット例を挙げちゃいましょう。
 『4→5、5→6、6→7、7→4 と順に入れかえたもの』(右図赤色)、『1と9を入れかえたもの』(右図緑色)の2つです。

 では、こういった完成形はいったいいくつできるのかを求めてみます。
 こう考えてみましょう。
 まず、白紙状態の9×9マスにして、原型において“1”が入っているマスに同じ数字を入れる。
 これは9通りの入れ方がありますね。
 次に、その9通りのそれぞれに対して、原型において“2”が入っているマスに別の数字を入れる。
 これは8通りの入れ方があります(すでに“1”のマスには数字がひとつ入っているから)
 そして、その9×8=72通りのそれぞれに対して、原型において“3”が入っているマスには7通りの数字が入る。
 以下、原型において“4”が入っているマスには6通りの数字が入る。
 ……。
 ……。
 原型において“9”が入っているマスには1通りの数字が入る。

 結局、何通りできるかというと、

   9×8×7×6×5×4×3×2×1= 362880 通り

 なんと、36万通りという膨大な数の完成形ができるわけです。
 スゴイね!



 2.回転させよう裏返しさせよう

 原型は9×9という正方形タイプだから、原型を90°ずつ回転させたり左右裏返しにしても完成形になりますね。
 たとえば、時計回りに90°(右図赤色)、さらに左右裏返し(右図緑色)。

 何通りあるか計算してみましょう。
 時計回りに90°ずつ回転させてできる完成形は4通り。そのそれぞれに対して裏返したものを考えれば、

   4×2=8 通り

 全部で8通りあるワケです。

 ここで、「その8通りの中でたまたま同じものができたりしないの?」なんて思ったアナタ!
 実を言うと、ナンプレの完成形において数字の配置は決して対称形(線対称、点対称、回転対称)にはならないことがわかっています。
 8通りの完成形はお互いに別モノなんです。


       なぜ対称形にはならないのか? → Click



 3.ブロック単位でズラしまくり

 実は、まだ別の完成形はつくれます。
 3行ごとに1・2・3、3列ごとにA・B・Cと番号記号をつけましょう(右図青色)。
 そして、たとえば行1〜3をテキトーに並べかえる……(右図赤色)。

 すると、あれ? なんと、これもまた完成形になるではないデスカ!
 つまり、3行(or 3列)ごとにブロックを入れかえても完成形になっちゃうんです。

 この場合は何通りあるんでしょう?
 まず、原型に対して行1〜3を並べかえる方法は、3×2×1=6 通り。
 そして、そのそれぞれに対して列A〜Cを並べかえる方法は6通り。
 ということは、

   6×6=36 通り

 全部で 36通りできるわけです。



 4.行や列を入れかえよう

 実は、まだまだ別の完成形はつくれます。
 各行、各列に番号記号をつけましょう(右図青色)。

 そして、例えば、右図の行1と行2を入れかえる。
 あるいは、列Dと列Fを入れかえる(右図赤色)。
 あるいは、行7〜9をテキトーに並べかえる(右図緑色)。etc...
 すると、これもまた完成形になっちゃうんです!
 つまり、3×3に区切っている線をまたがないように2つの行や2つの列を入れかえても完成形になっちゃうんです。
 ただし、列Bと列Eを入れかえたりなどはダメ。区切り線をまたいで入れかえたら完成形にはならないんです。

 この場合は何通りあるんでしょう?
 まず、行1〜3を並べかえる方法は、3×2×1=6 通り。
 次に、その6通りのそれぞれに対して行4〜6を並べかえる方法は6通り。
 そして、その6×6=36通りのそれぞれに対して行7〜9を並べかえる方法は6通り。
 以下、列A〜C、D〜F、G〜Iに対しても各6通りずつあります。
 ということは、

   6×6×6×6×6×6=46656 通り

 全部で4万6千通り以上できるわけです。



 5.いったい何通り?

 とりあえず、原型をもとにして新しい完成形をつくる方法は、上の4つが思い浮かびました。
 ほかにもあるかもしれないけれど、上の4方法によっていったい完成形をいくつつくれるか計算してみましょう。

 とりあえず、おさらい。

   1.の方法だと 362880 通り。
   2.の方法だと 8通り。
   3.の方法だと 36 通り。
   4.の方法だと 46656 通り。

 原型に対して1.4.を適度に駆使すれば別の完成形ができます。
 だから、この4数をかけ算すれば、完成形の個数が出てくることになります。
 かけ算してみると……、

   362880×8×36×46656 = 4,8759,9243,2640 通り

 ケタが多いので、4ケタごとに区切っていくと……

   どひゃーっ! 4兆だってよ!?

 マジっすか!? これ!
 計算した本人が驚いてます。
 とりあえず、完成形が1コあれば、ほかに4兆以上も完成形がつくれるのですな。



 6.スゴイ ! ! ……と思いきや  (きゅむさんのご指摘をもとに加筆)

 4兆 ! !
 ……と思いきや、実は、この4兆の中にはダブって数えられてるのもあります。
 たとえば、2.の「裏返し」は、3.4.の行(列)の入れかえで代用ができるんです。
 例として、原型(右図青色)において「左右の裏返し」を「列の入れかえ」で代用してみましょう。

 こんな感じです。

   【1】4.の「列の入れかえ」で、各ブロックごとに左右反転させる。
     具体的には、AとC、DとF、GとIをそれぞれ入れかえる。(右図赤色)

   【2】3.の「ブロック単位で入れかえ」で、ブロック自体を左右反転させる。
     具体的には、1と3を入れかえる。(右図緑色)

 どうでしょう?
 原型と見くらべると……たしかに、左右裏返しになっているッ ! !

 もちろん、同様にして、「上下裏返し」についても代用ができます。

 ということは、「左右裏返し」と「上下裏返し」に関しては、4兆個の中にダブリがあるわけです。
 では、どれだけダブリがあるんでしょうか。

 まず、2.において、裏返ししたものには全部ダブリがあります。
 そして、2.において、「180°回転」は「左右裏返し+上下裏返し」でも代用できる。つまり、結局はコレも「行(列)の入れかえ」で代用ができるため、ダブリがあります。
 さらに、2.において、「時計回り 270°回転」は「時計回り 90°回転+180°回転」、つまり「90°回転+左右裏返し+上下裏返し」でも代用できる。つまり、コレも同様にダブリがあります。

 そうなると、2.においては、「原型」と「90°回転」以外はダブリがあることになる。
 ということは、2.において8通りあったけれど、実はダブリをなくすためには2通りだけを考えればよいことになりますね。

 では、あらためて、個数を計算しましょう。

   362880×2×36×46656 = 1,2189,9810,8160 通り

 ケタが多いので、4ケタごとに区切っていくと……

   うわっ! それでも1兆!?

 やっぱ、多いですなぁ。



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管理人:E坂もるむ