三角形の内角の和にまつわる別世界の幾何学

4-1．幾何の違いは平行線の違い

図 4-1

　ちょいとこんなことを考えてみます。

直線ａ、そして、ａ上にない１点Ｐを用意する。
Ｐを通りａに平行な直線は何本引ける？

　それぞれの幾何で検証してみましょう。
　図4-1 の通りです。
　ユークリッド幾何の方は、１本だけ引けますね。
　対して、球面幾何の方は……あら、１本も引けないわ😞
　どう引いても直線ａと２点で交差してしまう。大円同士は必ず交わっちゃいますもんね。

　かたや１本、かたや０本。
　引ける平行線の本数は異なりました。

　実は、平行線の本数に応じて幾何学は３種類存在するんです。
　まず、「１本」に対応するのはユークリッド幾何学です。
　そして、「０本」に対応するのは 楕円幾何学 と呼びます。
　「２本以上」に対応するのは 双曲幾何学 と呼びます。
　（※ 無限個も「２本以上」に含みます）

　なんか新しい名前が２つ出てきましたね。
　両者を具体的にイメージするのは難しいかもしれません。
　楕円幾何はまだイメージしやすい。モデルとして球面幾何があるから。
　双曲幾何は……身近なモデルは私には思いつきません😓
　まぁ「そういう幾何学もあるんだな」くらいの軽い認識にとどめちゃってください。

　さて、セクション３では三角形の内角の和について話を進めましたね。
　実は、あの結論は球面幾何に限った話ではありません。
　楕円幾何と双曲幾何にはそれぞれこういう性質があるんです。

• 楕円幾何では、三角形の内角の和は常に 180°より大きい。
• 双曲幾何では、三角形の内角の和は常に 180°より小さい。

　球面幾何は楕円幾何の一種です。
　そして、「地球」という打ってつけのモデルがある。
　そのおかげで、セクション１のようなパズル問題が成り立ったわけですね。
　逆に、双曲幾何を利用すれば、こ〜んなパズル問題もできたりするのかな？

　ただ、残念なことに、その問題に相応しい身近なモデルがこの世にはありません。
　残念だ😞
　皆さん、そういうモデル、宇宙のどっかに落っこちてないですか？😅

4-2．平行線から非ユークリッド幾何学へ、長かった数学者達の闘い

　当ページを執筆するにあたって球面幾何をいろいろ調べていくと、非ユークリッド幾何学関連の歴史がずいぶん面白かった！
　幾何学の「平行」という概念、はるか大昔から数学者達の悩みの種だったとは驚きでした。
　その話をしてみたい衝動に駆られたもんで、ここでちょいと非ユークリッド幾何学史を軽くつぶやいてみます。
　あ、私は専門家ではないので奥深いところには立ち入りません。うわべだけ。
　数学者など専門家による深い話は書籍にもネット上にもあるので、ガチの話はそちらをご覧ください。

　時は紀元前。
　古代ギリシャの数学者・ユークリッド（B.C.300頃）の時代まで遡ります。
　当時の王プトレマイオスに「幾何学を学ぶもっと易しい方法はないのか？」と言われても、「王様も普通の人も同じように努力しなければなりません」と窘めた。ユークリッドのエピソードは有名ですね。
　いわゆる「幾何学に王道なし」「学問に王道なし」の由来となった人物です。
　幾何学を学ぶ上で、ユークリッドを欠かすことは絶対にできません。

　そのユークリッドには有名な著書があります。
　『ストイケイア』と呼ばれる、全13巻の大著。
　日本語では『原論』と呼ばれていますね。
　これは、幾何学や数論などの知識を１つの理論体系としてまとめた書物です。
　今日でも幾何学の教科書的存在であり、聖書に次いでよく読まれた書物だと言われています。

　その『原論』の中で、ユークリッドは23個の定義・９個の公理・５個の公準を述べています。
　そして、それらを駆使してさまざまな定理を導いている。
　その中には、あの有名な「ピタゴラスの定理」もあります。

　さて、これらのうち「５個の公準」にスポットを当ててみましょう。
　あ、「公準」というワードは聞き慣れないですよね。
　公準は公理と同じだと捉えて差し支えありません。
　公準は幾何学に関する公理だと捉えちゃってＯＫです。

　公理は数学一般を論ずるときに議論の基礎になるもの，公準は幾何学を展開するのに真と仮定して議論の基礎にするものという意味に使われている．

『モノグラフ 数学史』p.39 より

　公理（公準）とは、「理論を構築するにあたってスタート地点に置く命題」のことです。
　最初に「公理は（証明無しで）すべて正しい」と認めることにして、それを皮切りに論理を進めて理論体系を作っていくんですね。
　公理はいわば「種」と言えるかな？
　まずは種（公理）を蒔き、肥料（定義）も与えて種を育てて花（定理）が咲く。
　花が咲き乱れて広大な花畑（論理体系）ができあがる。
　こんな感じ。
　逆に、公理を置かないと理論は発展しようがありません。
　数学は「蒔かぬ種は生えぬ」とも言えるかな。
　（※ 私の勝手なイメージです）

　では、５個の公準を紹介しましょう。

• 任意の点から他の点へ直線を引くことができる。
• 任意の線分は両方向へ延長することができる。
• 任意の点を中心とし、任意の半径で円を描くことができる。
• 直角はすべて相等しい。
• １直線が２直線に交わっており、同じ側にある内角の和が２直角よりも小さい場合、その２直線をその側へ限りなく延長するとその２直線は交わる。

　これが５個の公準です。
　……いやいやいや、１個だけすっごく目立ってるじゃぁないの😅
　そう。やけに目立ってますよね。
　【公準５】が異常に複雑で長いのです。
　何でだ？

　【公準５】を簡単に説明しましょう。
　今、３直線がキの字に交わっていて、タテ線の右側の内角α, βに対してα＋β＜180°となっている。
　この時、２本のヨコ線を右側へ延長していけば必ず交わる。
　こういうことです。
　α, βは同側内角と言いますね。

　さて、【公準１〜４】は文が短くてスッキリしていますよね。どれも自明に見えるし公準としてすんなり受け入れられる。
　しかし、【公準５】は明らかに異質だ。
　あんなゴチャゴチャしたものを幾何学の土台に据えて良いものだろうか？
　もしかして……他の公準で証明できちゃったりするのでは？
　これが議論の的になり、どうにか【公準５】を証明できないかと数学者達は考えるようになりました。

　ところが！
　これがうまくいかないんです。
　数学者達がどんなに頑張っても【公準５】を証明できない。
　ユークリッドの『原論』で立てられた【公準５】は紀元前の話。
　数学者達の懸命な努力にもかかわらず実を結ばない。花は一時も咲かないんです。
　ただただ月日が流れていくばかり。

　ただ、進展がなかったわけじゃぁありません。
　【公準５】と同値（つまり必要十分条件）な命題がいろいろ生み出されてはいたんです。
　例えば……

• 直線外の１点を通りその直線に平行な直線は、ただ１本存在する。
• 平行な２直線に第３の直線が交わっている時、錯角は等しい。逆に、錯角が等しければ２直線は平行である。
• 三角形の内角の和は 180°である。
• どの三角形にも外接円が存在する。
• ピタゴラスの定理が成り立つ。

　他にもまだまだたくさんあります。
　このうち【命題Ａ】を図に描くとこんな感じ。

　直線ａと、ａ外の１点Ｐをとる。点Ｐを通りａに平行な直線は１本しかありません。
　これはセクション4-1の 図4-1 にも示しています。
　この【命題Ａ】により、【公準５】は 平行線公準 とも呼ばれています。
　この平行線公準に数多の数学者が挑み、敗れ去ってきた。でも、それはそれで議論は発展していきました。

　時は流れ、19世紀初め。
　未だに平行線公準は証明されていません。
　『原論』の時代からもぅかれこれ2000年以上は経っている。
　「もしかして……平行線公準は証明できないのでは？」
　そんな考えも現れるようになってきた。

　そんな時、意外な視点から解決のキッカケが訪れる。
　衝撃の事実が明らかになったんです。

平行線公準を否定すると、別の幾何が成立する！

　例えば、【公準５】（つまり【命題Ａ】）の代わりに次の【公準Ｘ】を採用してみる。
　それでも、何ら矛盾のない幾何体系ができあがるというのです。

• 任意の点から他の点へ直線を引くことができる。
• 任意の線分は両方向へ延長することができる。
• 任意の点を中心とし、任意の半径で円を描くことができる。
• 直角はすべて相等しい。
• 直線外の１点を通りその直線に平行な直線は、複数存在する。

　ただ、その場合、ユークリッド幾何とはかけ離れた幾何ができあがります。
　「内角の和がいくらでも小さい三角形や多角形が存在する」など想像もつかない摩訶不思議な性質が次々と現れ、我々の理解しがたい異様な光景が広がる。
　なろう系小説ではよく異世界が現れるけれど、なんと数学にも異世界が現れた！

　この新しい幾何の発見については、３人の数学者ガウス（1777-1855）、ロバチェフスキー（1793-1856）、ボヤイ・ヤーノシュ（1802-1860）が有名ですね。
　ボヤイの悲運も含めてご存じの方々も多いでしょう。

　当時はこの幾何学の存在はほとんど知られていませんでした。
　ガウスはその幾何学を発見してはいたものの、発表をずっと避けていた。そのことがボヤイの悲運につながってしまうわけだけど、まぁ……時代が時代です。
　なんせ、幾何学者にとってユークリッド幾何学は 2000年以上もの長い歴史を誇る絶大な存在。
　他の幾何学なんて想像だにしない時代です。
　なのに、そんな異世界がいきなり現れてしまったら……？
　たとえ正論であろうとも、世に問えば大きな波紋を呼ぶ。いつの世も、斬新なアイデアにとって「無理解な多勢」は大敵です。

　ただ、公表はせずとも、ガウスは新幾何学の内容を密かに研究していた。
　世人に認められずとも、ロバチェフスキーは新幾何学の理論体系を研究・発表し続けた。
　ボヤイは平行線公準に依らない「絶対幾何」を作り上げていた。
　ガウスの没後、そういった非ユークリッド幾何学の理論は広く知られていきます。
　とは言っても、当時はまだ理論上の概念でしかなく、イメージしにくい難解な物でした。

　が、ある画期的な出来事が非ユークリッド幾何学に大きな転機をもたらすことになる。
　数学者クライン（1849-1925）によって、非ユークリッド幾何の具体的モデルが生み出されたんです。

　これは一体何を意味するのか？
　非ユークリッド幾何学の理論体系が可視化された、ということなんです。
　異世界の直線・角度・多角形などの姿が人々にお披露目され、先述した「内角の和がいくらでも小さい三角形や多角形が存在する」などの摩訶不思議な定理も目で認識できるようになったんです。
　この「可視化」は本当に大きかった。
　おかげで理解のハードルが格段に下がり、非ユークリッド幾何学は受け入れられるようになっていきました。
　その後も研究は進み、「ベルトラミの擬球」などさまざまなモデルも生まれています。
　モデルについては、クラインの他にはケーリー（1821-1895）、ベルトラミ（1835-1900）、ポアンカレ（1849-1912）などの数学者も有名でしょうか。

　ここで、モデルを１つ、ちょびっとだけ紹介しましょう。
　ポアンカレの上半平面モデルです。
　内容をごっそり端折っているので下図の説明は不正確ですが、大まかなイメージをつかんでいただければ十分です。
　（※ 正確な内容についてはご自身でお調べください）

　実は、これらのモデル達には共通点が２つあります。

• ユークリッド空間内の平面や曲面の上にモデルが作られている。
• ユークリッド幾何学の知識を用いてモデルの幾何体系が構築されている。

　モデル上の諸々の図形は、ユークリッド幾何の要素（皆さんが日頃認識している線分・円弧・角度など）を使って定義されています。
　そして、モデル上の諸々の定理はユークリッド幾何学を通して証明されています。
　これらを踏まえると、非ユークリッド幾何学の立ち位置が見えてくる……。

非ユークリッド幾何学は、ユークリッド空間内の特殊な曲面の上で展開される幾何学である。

　非ユークリッド幾何学は、ユークリッド幾何学を土台として成り立っている。
　これは、ユークリッド幾何学に矛盾がなければ非ユークリッド幾何学にも矛盾はない、ということを意味します。
　ユークリッド幾何が正しいなら非ユークリッド幾何もまた正しい！
　こういうわけです。
　２つの幾何学は敵対する物ではないし、一方のみが正しいという物でもない。
　どちらも正当な幾何学なんですね。

　ガウス達に始まりクラインモデルで初めて可視化された幾何、これは双曲幾何と呼ばれます。
　それに対して、非ユークリッド幾何はもうひとつ存在します。
　楕円幾何です。
　その幾何では、【公準５】の代わりに次の【公準Ｙ】が採用されています。

• 直線外の１点を通りその直線に平行な直線は、１本も存在しない。

　セクション２３の球面幾何は楕円幾何のモデルですね。
　他には数学者リーマン（1826-1866）の考案したモデルもあります。
　球の中心に関して対称な２点（いわゆる対心点）を同一視するという、結構ややこしい幾何です。

　リーマンの非ユークリッド幾何学に関しては、1854年の大学就任講演『幾何学の基礎にある仮定について』も有名でしょうか。
　さっき「非ユークリッド幾何学は特殊な曲面の上で展開される幾何学である」と述べたけれど、リーマンはそれに留まらない考えをその講演で論じました。
　概要をちょいと引用します。

　幾何学はユークリッドからルジャンドルに至るまで基礎がはっきりしていないが、これはｎ次元空間を考えないからである。曲面の代わりにｎ次の拡がりを持つ多様体を考え、その中でガウス先生が曲面論で行ったと同様にして一般の曲率を考える。すると、例えば一定曲率の空間だと図形の長さを変えずに移動することができる。だから曲率が０ならば我々の空間と同様な幾何ができるが、曲率が正の定値をとると、空間はちょうど球面のように、直線はいくらでも延長はできるけれども、無限には拡がらないで、有界であり、元へもどってくることがある。一般に各点で曲率が異なるような空間ももちろん考えられるが、どの仮定が物理現象を説明するのに適当であるかは観測によって決めることになろう。
　リーマンの幾何はこのように宇宙の解明に結びつけた、次元も三次元に留まらない壮大なものだった。

『非ユークリッド幾何の世界 幾何学の原点をさぐる』pp.148-149 より

　リーマンはこの講演を行い、面前で聴いていたガウスはその内容を大絶賛したそうです。
　実際、後に本当に宇宙の解明に役立ったのだから凄い。
　リーマンはこの考えを基に『リーマン幾何学』を確立しましたが、それが物理学に大きく貢献します。
　物理学者アインシュタイン（1879-1955）の『一般相対性理論』ですね。
　「宇宙空間は重力で時空の曲がった空間だ」という考え方が、リーマンの「曲がったｎ次元多様体」にちょうど当てはまったのでしょう。
　このおかげで、非ユークリッド幾何学は一躍脚光を浴びたのでした。

　今ではスマホやカーナビの GPS に一般相対性理論が活用されています。
　現実では既に非ユークリッド幾何学が（間接的に）活躍している。
　そして、さらなる宇宙の解明にも非ユークリッド幾何学は活躍していくことでしょう。

　……とまぁ、非ユークリッド幾何学史はこんなところでしょうか。
　平行線公準の疑問から始まり、永きにわたって数多の数学者達が苦しみ、そして意外な急展開、新たに生まれた幾何は不遇の時代を耐え抜いて、最後に大きく光り輝いた。
　なんかもぅドラマですね。映画を見ているようだ。
　数学自体はもちろん面白いけれど、こういうドラマチックな歴史もまた面白いものですね。