【解法】Gurth's Symmetrical Placement

 Gurth's Symmetrical Placement は、数字配置の対称性を利用した解法です。
 その対称性のため、(中心以外は)必ず2マスずつ埋まっていきます。
 配置の美しさも特徴のひとつです。

1.数字配置に秘密あり!

図 1-1

 図1-1 の盤面を見てみましょう。
 普通にパズル雑誌に載ってるような対称形の配置になってますね。

 この盤面、実は、さらに大きな特徴が隠れています。
 どんな特徴でしょう?
 もしかしたら、数字の配置を見て気付いた方々もいるかもしれません。
 例えば、「1と2」とか「7と8」とか……。

図 1-2

 実は、こういう特徴があります。
 盤面中央のマス(黄色)を中心に、この5つが成り立っているんです。

  • 数字1と2は正反対の位置にある。
  • 数字3と4は正反対の位置にある。
  • 数字5と6は正反対の位置にある。
  • 数字7と8は正反対の位置にある。
  • 数字9は互いに正反対の位置にある。

 4個ずつある数字1, 2を線で結んでみました。
 おぉ、位置がことごとく正反対!

 位置がすべて正反対ということは、当然、数字1, 2のある8マスは全体で点対称になりますね。
 他の数字ペアも同様に点対称になっています。
 そして、盤面に4つある数字9は4マス全体で点対称。
 対称形には美しさが潜んでいるけれど、ここまで完全な点対称だともぅ完璧な配置だと言っても過言じゃぁありません。

 Gurth's Symmetrical Placement という解法はこういった完璧な配置のナンプレを対象とします。
 そこで、便宜上、この配置を 完全点対称の配置 と呼ぶことにしましょう。

図 1-3

 ちなみに、このナンプレは普通に解くことができます。
 完成図は 図1-3 の通り。

 実は、この完成図にも同じ特徴があるんです。
 盤面中央のマスを中心に……

  • 数字1と2は正反対の位置にある。
  • 数字3と4は正反対の位置にある。
  • 数字5と6は正反対の位置にある。
  • 数字7と8は正反対の位置にある。
  • 数字9は互いに正反対の位置にある。

 完成図に至っても数字の位置がことごとく正反対なんですね。

 数字1, 2のある18マス(緑色部分)は全体で点対称になっています。
 他の数字ペアも18マス全体が点対称です。
 数字9は9マス全体が点対称。
 まさに完全点対称の配置をしているんです。

 問題図が美しけりゃ完成図もまた美しい🥰
 これ以上に「点対称」という言葉の似合う盤面はないんじゃなかろうか。

 この Gurth's Symmetrical Placement という解法、「点対称」という概念が重要なキーになります。
 常にそれを意識しながら理解していくと良いでしょう。

 ただし。
 まるで美の頂点に君臨するようなナンプレですが、残念なお知らせが1つ。
 唯一解を持つナンプレでないとダメなんです。
 もし完全点対称のナンプレが複数解を持ってしまっている場合、完成図が完全点対称になるとは限りません。
 それがちょいと玉にキズでして😞
 しかし、唯一解を持つナンプレなら必ず完成図も完全点対称になります。

 基本的に、世に出ているナンプレは唯一解を持つ物ばかりです。
 だから、もし盤面が完全点対称だと気付いたなら早速 Gurth's Symmetrical Placement を使ってみると良いでしょう。
 他のナンプレにはない唯一無二の魅力を味わえます😊

2.どういう解法?

 このセクションでは、Gurth's Symmetrical Placement の概要を説明しましょう。
 どういう状況でその解法が使えるんでしょうか?

図 2-1

 盤面は前セクションの物を流用しちゃいます。
 状況をおさらいしましょう。
 盤面中央のマスを中心にこういうことが成り立っています。

  • 数字1と2は正反対の位置にある。
  • 数字3と4は正反対の位置にある。
  • 数字5と6は正反対の位置にある。
  • 数字7と8は正反対の位置にある。
  • 数字9は互いに正反対の位置にある。

 例えば、2マスX, Yは互いに正反対の位置にありますが、その2マスにちょうど1と2が入っています。

 以降は、正反対の位置にある物に対して 相棒 というワードで表現することにしましょう。
 数字1の相棒は数字2です。数字2の相棒は数字1。
 数字1, 2は相棒同士。
 マスXの相棒はマスY。マスYの相棒はマスX。
 2マスX, Yは相棒同士。
 こんな感じでこのワードを使っていきます。

 あ、数字9の相棒は数字9自身です。
 あと、盤面中央のマスの相棒はそのマス自身だと考えることにします。
 数学の「点対称」の観点から見てもそれが自然であり、妥当なところでしょう。

図 2-2

 さて、この盤面が持つ重要な性質を紹介しましょう。
 その性質とはこれです。

  • 必ず2マス同時に数字が確定する(盤面中央のマスは除く)。
    しかも、その2マスは相棒同士であり、確定する数字も相棒同士である。

 例えば、数字1からレーザーを飛ばすとマスAに1が確定しますね。
 それと同時に、数字2からレーザーを飛ばすとマスBに2が確定するんです。

 なぜでしょう?
 それは、数字1, 2が相棒同士だからです。
 数字1から飛ばした青色レーザーを180°ひっくり返せば、赤色レーザーに一致するんです。
 そのレーザーがちょうどマスBの数字確定に役立っているんですね。
 もちろん、2マスA, Bは相棒同士です。

 ちなみに、青色レーザーと赤色レーザーも相棒同士です。
 なんと、レーザーにまで相棒が現れよった!

 「点対称」という視点で考えると、この性質は……まぁ当たり前っちゃぁ当たり前ではある。
 でも、この性質のおかげで、盤面の中心に対する結論が生まれるんです。

図 2-3

 その結論とは……?

  • 自分自身が相棒になっている数字が盤面中央のマスに確定する。
    あるいは、盤面に1つも存在しない数字が盤面中央のマスに確定する。

 図2-3 だと、数字9が該当します。
 9以外は他の数字と相棒になっていますが、数字9だけは自分自身が相棒になっていますね(図2-3 黄色マス)。
 その数字9が中央マスに確定するというわけです。

 なぜ、こういう結論になるんでしょう?
 それを説明しましょう。

図 2-4

 この盤面では、相棒同士のマスには相棒同士の数字が入るのでした。
 図2-2 で2マスA, Bに数字1, 2が入ったように。
 このことが盤面中央のマスに大きく影響していくんです。

 中央マスに数字1, 2, 5, 6が入らないことは簡単にわかります。
 じゃぁ、例えば数字3が入ったと仮定しましょう。
 すると、相棒のマスには数字4が必ず入ることになりますね。
 ……だけど、中央マスの相棒ってどのマスでしたっけ?

 そうです。相棒は中央マス、自分自身です。
 ということは、中央マスには3も4も入るということになってしまう!
 うゎ、こりゃぁ不合理だ😣

 というわけで、中央マスに数字3はNGとなった。
 もちろん、数字4, 7, 8もすべて同じ不合理を引き起こします。
 結局、中央マスには数字9しか入れられないんですね。

盤面に数字が8種類しかない場合は……
図 2-5

 図2-3 で示した結論には、これもありました。

  • あるいは、盤面に1つも存在しない数字が盤面中央のマスに確定する。

 これについて軽く説明します。

 図2-5 の盤面には8種類の数字1〜8しかありません。
 そして、1⇔2, 3⇔4, 5⇔6, 7⇔8と4組のペアができています。
 完全点対称の配置ですね。
 この場合、盤面に1つも存在しない数字9が中央マスに入る。
 こういう結論になります。

 理由は 前図2-4 で述べたことと同じです。
 他の数字だと不合理を起こすからですね。

 ちなみに、このナンプレを解くと、数字9の相棒が9自身となることはすぐにわかります。

3.実際に使ってみよう!

 次は、実際の盤面で Gurth's Symmetrical Placement を使ってみましょう。

図 3-1

 図3-1 の盤面で説明していきます。
 あっ。
 この盤面、前セクションの盤面を裏返しにして数字を入れ替えただけです。
 手抜きでゴメンなさ〜い😅

 ここでは、とあるマスに注目して解き進めていきます。
 そのマスは……もちろん盤面中央のマスです。

図 3-2

 盤面の数字を確認してみましょう。

  • 数字1と4は相棒同士である。
  • 数字2と6は相棒同士である。
  • 数字3と9は相棒同士である。
  • 数字5と8は相棒同士である。
  • 数字7は自分自身と相棒同士である。

 ものの見事に Gurth's Symmetrical Placement の使える配置です。
 さぁ、盤面中央のマスに入る数字は何でしょう?

  • 自分自身が相棒になっている数字が盤面中央のマスに確定する。
    あるいは、盤面に1つも存在しない数字が盤面中央のマスに確定する。

 そうです。
 数字7なんです。

図 3-3

 うまく Gurth's Symmetrical Placement が使えましたね!
 もぅちょっと解き進めてみましょう。

 数字7からレーザーを飛ばしてみましょう。
 なんと、緑色4ブロックすべてに数字7が判明しました!

 7の配置が配置だから、まぁレーザーの跡がキレイなこと🥰
 まさに点対称のなせる技ですね!
 4方向すべてに役立つレーザーもなかなか珍しい。

4.本当に何から何まで正反対

 これまでのセクションでは、「相棒同士のマスには相棒同士の数字が入る」ということを解説しました。
 このセクションでは、いろんな盤面を例にさまざまな相棒の形を紹介していきます。

図 4-1

 図4-1 の盤面、完全点対称の配置です。
 あ、セクションの数字配置をテキトーに入れ替えただけということは内緒にしといてください😅

  • 数字1と9, 2と8, 3と7, 4と6はそれぞれ相棒同士。
  • 数字5は自分自身と相棒同士である。

 まず、候補数字の分布を見てみます。
 相棒同士の2マスについて何が言えるでしょうか?

 実は、候補数字も相棒同士の関係になっているんです。
 例えば、左上隅と右下隅のマス。
 左上隅が1, 6, 7, 8なら右下隅は9, 4, 3, 2。
 1⇔9, 6⇔4, 7⇔3, 8⇔2、相棒同士で4組のペアになっている!

  • 盤面上のすべての候補数字に対して、相棒のマスに相棒の候補数字が存在する。

 盤面には全部で225個もの候補数字がありますが、そのすべてに相棒が存在するんですね。
 なんと、113組ものカップルができてます。凄ぇな。

図 4-2

 別のところにも目を向けてみましょう。
 青色ブロック、Aの2マス。
 数字2, 5の2国同盟(Hidden)ができていますね。
 じゃぁ、相棒はどうでしょう?

 赤色ブロックの2マスB。
 おぉ、数字8, 5の2国同盟(Hidden)がある!
 しかも、2⇔8, 5⇔5、相棒同士で2組のペアができている!

  • 盤面にn国同盟があれば、相棒の位置にもn国同盟がある。
    しかも、相棒の候補数字で同盟が構成されている。

 すごい。
 同盟すらも相棒が存在する!
 しかも、よく見ると対象となるブロックも相棒同士なんですね。
 ホント、何もかもが相棒だらけ。

図 4-3

 最後はちょっとした手筋をひとつ。
 以下の流れを軽く覚えておいてください。

  1. 青色2列と黄色ブロックを見てみると、数字1はの5マスにしか入らない。
  2. ここで、黄色ブロックに注目すると、そのブロックではのどこかに必ず数字1が入る。
  3. よって、2マスA, Bの少なくとも一方に数字1は入らない。
図 4-4

 では、相棒はどうでしょう?

  1. 赤色2列と黄色ブロックを見てみると、数字9はの5マスにしか入らない。
  2. ここで、黄色ブロックに注目すると、そのブロックではのどこかに必ず数字9が入る。
  3. よって、2マスA, Bの少なくとも一方に数字9は入らない。

 なんと、論理展開がまったく同じ!
 しかも、数字もマスもタテ列もヨコ列もブロックも、どれも 図4-3 の相棒ばっかりじゃぁないですか!

 実は、完全点対称の盤面では、何から何まで相棒が存在するんです。
 数字やマスだけではありません。論理展開途中に現れる列やブロックなんかも相棒が存在する。いや、それどころか、n国同盟、強いリンク/弱いリンクALS など高難度な物でさえも相棒が存在するんです。

  • 完全点対称の盤面には、本当に何から何まですべての物に相棒が存在する。

 スゴイよね。完全点対称って。

 もちろん、これらのことは「どの数字にも相棒がいるから」という理由1つですべて説明できます。
 だから、このセクションで述べた話は当たり前っちゃぁ当たり前の話です。
 でも、それでも驚いちゃいますよね。だって、マスや数字だけでなく何から何までありとあらゆる物がことごとく相棒相棒正反対正反対となるんですもの。

 図2-2 では「必ず2マス同時に数字が確定する」と述べましたが、理由はまさに 図4-3・図4-4 です。
 あらゆる物に相棒が存在するため、正反対の場所でもまったく同じ論理展開ができるからなんです。

 論理展開そのものに相棒が存在する。
 これがもたらす影響は凄まじく大きい!
 あるマスに数字が確定したら、もぅ何も考えずに相棒のマスにもチャチャッと相棒の数字を入れちゃえばいい。
 解くスピードが倍になる。倍速感を味わえるのは Gurth's Symmetrical Placement だけなのです。

 見た目の美しさだけでなく、完全点対称は解き方も個性的。
 天は二物を与え給うた。
 こんな解法、二つとありません。

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