【解説】強いリンク / 弱いリンク

　ナンプレの解き方には、X-Chain や Nice Loop などマニアックなレベルのものもあります。
　その解法を理解するための概念として、「リンク」というものが存在します。
　ここでは、「強いリンク」「弱いリンク」について解説し、さらに複雑な「グループリンク」についても解説します。
　（難易度：★★★★）

２．強いリンク

　まずは強いリンクの説明です。
　「２マス間のリンク」「マス内部のリンク」の２タイプあるので、それぞれ説明していきます。

2-1．２マス間の強いリンク

図 2-1

　まずは２マス間の強いリンクを説明します。
　これは、１列や１ブロックに属する２マス限定のリンクです。

　図2-1、青色のヨコ列を見てみましょう。
　この列において、数字５の入り得るマスはＡ, Ｂの２つだけ。
　すると、この２マスＡ, Ｂには次の関係が生じます。

  • マスＡに５が入らない場合、マスＢに必ず５が入る。
  • マスＢに５が入らない場合、マスＡに必ず５が入る。

　この関係がある時、マスＡ, Ｂの候補数字５は強いリンクで結ばれている と言います。
　あるいは、候補数字を省略して簡単に マスＡ, Ｂは強いリンクで結ばれている と言うこともあります。

図 2-2

　前図2-1 の盤面には、他にも２マス間の強いリンクがあります。
　例を２つ挙げてみます（図2-2）。

　まずは赤色のタテ列。
　数字２の入り得るマスはＡ, Ｂの２つのみ。
　Ａ, Ｂの候補数字２は強いリンクで結ばれています。

　次に緑色のブロック。
　数字６の入り得るマスはＣ, Ｄの２つのみ。
　Ｃ, Ｄの候補数字６は強いリンクで結ばれています。

　「一方のマスに数字ｎが入らなければ他方に必ず数字ｎが入る」ということを是非確かめてみてください。

　あらためて、２マス間の強いリンクの定義をしましょう。
　簡単に言うと「こっちのマスがダメなら、あっちのマスしかないよ〜！」ということです。

２マス間の強いリンク とは
　ある２マスＡ, Ｂにおいて、「Ａ, Ｂの一方に数字ｎが入らない場合、他方に必ず数字ｎが入る」という関係があるとする。
　この時、マスＡ, Ｂの候補数字ｎは強いリンクで結ばれている と言います。

2-2．マス内部の強いリンク

図 2-3

　次に、マス内部の強いリンクを説明します。
　これは、候補数字が２つしかないマス限定のリンクです。

　図2-3 のマスＡを見てみましょう。
　このマスの候補数字は４と６の２つしかありません。
　すると、この２つの候補数字には次の関係が生じます。

  • ４が入らない場合、必ず６が入る。
  • ６が入らない場合、必ず４が入る。

　この関係がある時、マスＡでは候補数字４と６は強いリンクで結ばれている と言います。

図 2-4

　前図2-3 の盤面には、他にもマス内部の強いリンクがあります。
　図2-4 の黄色マスですね。

　例えば、左上隅のマスでは４と８が強いリンクで結ばれています。
　他には、あるマスでは２と５が強いリンクで結ばれていたり、あるマスでは７と９の強いリンクがありますね。

　「数字ａが入らなければ必ず数字ｂが入る」ということを是非確かめてみてください。

　あらためて、マス内部の強いリンクの定義をしましょう。
　簡単に言うと「こっちの候補数字がダメなら、あっちの候補数字しかないよ〜！」ということです。

マス内部の強いリンク とは
　あるマスＡには候補数字がａ, ｂの２つしかないとする。
　そのマス内部では「ａ, ｂのうち一方が入らない場合、他方が必ず入る」という関係がある。
　この時、マスＡでは候補数字ａとｂは強いリンクで結ばれている と言います。

３．弱いリンク

　次は、弱いリンクの説明です。
　強いリンクと同様に「２マス間のリンク」「マス内部のリンク」の２タイプあるので、それぞれ説明していきます。

3-1．２マス間の弱いリンク

図 3-1

　まずは、２マス間の弱いリンクを説明します。
　これは、列やブロックの中の２マスが関係するリンクです。

　図3-1、青色のヨコ列を見てみましょう。
　この列において、数字７の入り得るマスはＡ, Ｂ, Ｃの３つです。
　今、そのうちのＡとＢに注目したとして、その２マスには次の関係が生じています。

  • マスＡに７が入った場合、マスＢに７は入らない。
  • マスＢに７が入った場合、マスＡに７は入らない。

　この関係がある時、マスＡ, Ｂの候補数字７は弱いリンクで結ばれている と言います。
　あるいは、候補数字が明らかな場合は簡単に マスＡ, Ｂは弱いリンクで結ばれている ということもあります。

　もちろん、２マスＡ, Ｃの候補数字７も弱いリンクで結ばれています。
　２マスＢ, Ｃの候補数字７も同様です。

　ここで、必ず注意すべきことがひとつ。
　マスＡ, Ｂの候補数字７は強いリンクでは結ばれていません。
　これ大事！
　なぜなら、マスＡに７が入らなかったとしても必ずマスＢに７が入るとは限らないからです。マスＣの可能性がありますもんね。
　当然、マスＡ, Ｃの候補数字７も強いリンクで結ばれていません。マスＢ, Ｃも同様です。

図 3-2

　強いリンクとは違って、ナンプレの盤面にはあらゆるところに２マス間の弱いリンクがあります。
　例を２つ挙げてみます（図3-2）。

　まずは赤色のタテ列。
　数字３の入り得るマスはＡ, Ｂ, Ｃの３つ。
　ＡとＢ, ＡとＣ, ＢとＣ、どれも候補数字３は弱いリンクで結ばれています。

　次は緑色のブロック。
　数字９の入り得るマスはＤ, Ｅ, Ｆ, Ｇの４つ。
　ＤとＥ, ＤとＦ, ……, ＦとＧ、任意の２マスの候補数字９は弱いリンクで結ばれています。

　「一方のマスに数字ｎが入ると他方には数字ｎが入らない」ということを是非確かめてみてください。

　あらためて、２マス間の弱いリンクの定義をしましょう。
　簡単に言うと、「こっちのマスがＯＫなら、あっちのマスはダメだよ〜！」ということです。

２マス間の弱いリンク とは
　ある２マスＡ, Ｂにおいて、「Ａ, Ｂの一方に数字ｎが入った場合、他方に数字ｎは入らない」という関係があるとする。
　この時、マスＡ, Ｂの候補数字ｎは弱いリンクで結ばれている と言います。

3-2．マス内部の弱いリンク

図 3-3

　次に、マス内部の弱いリンクを説明します。
　これは、マス内部の候補数字が関係するリンクです。

　図3-3 のマスＡを見てみましょう。
　このマスの候補数字は１, ３, ９の３つです。
　今、そのうちの１と３に注目したとして、その２つには次の関係が生じます。

  • １が入った場合、３は入らない。
  • ３が入った場合、１は入らない。

　この関係がある時、マスＡでは候補数字１と３は弱いリンクで結ばれている と言います。
　もちろん、マスＡでは候補数字１と９も弱いリンクで結ばれています。３と９も弱いリンクで結ばれています。

　ここで、必ず注意すべきことがひとつ。
　候補数字１と３は強いリンクでは結ばれていません。
　これ大事！
　なぜなら、マスＡに数字１が入らなかったとしても必ず３が入るとは限らないからです。９の可能性がありますもんね。
　当然、マスＡでは候補数字１, ９も強いリンクで結ばれていません。候補数字３, ９も同様です。

図 3-4

　候補数字が複数あれば、そのマスには必ずマス内部の弱いリンクが存在します。
　例を２つ挙げてみます（図3-4）。

　まずはマスＡ。
　候補数字は３, ５, ８の３つ。
　３と５、３と８、５と８はどれも弱いリンクで結ばれています。

　次にマスＢ。
　候補数字は５つ。
　２と３、２と７、……、８と９など任意の２つの候補数字は弱いリンクで結ばれています。

　「数字ａが入ると数字ｂが入らない」ということを是非確かめてみてください。

　あらためて、マス内部の弱いリンクの定義をしましょう。
　簡単に言うと、「こっちの候補数字がＯＫなら、あっちの候補数字はダメだよ〜！」ということです。

マス内部の弱いリンク とは
　あるマスＡには候補数字が２つ以上あるとする。
　その中の任意の２つ（ａ, ｂとする）には「ａ, ｂのうち一方が入った場合、他方は入らない」という関係がある。
　この時、マスＡでは候補数字ａとｂは弱いリンクで結ばれている と言います。

４．おさらい

　一度、４種類のリンクをおさらいしましょう。
　セクション２３ではリンクの強弱ごとに分類して説明しましたが、ここでは ２マス間/マス内部 に分類して説明します。

５．強いリンクは弱いリンクでもある

　これまでのセクションでは、強いリンク・弱いリンクの解説をしました。
　このセクションでは、強いリンクの大きな特徴を１つ紹介します。

図 5-1

　図2-1 のところでは、「２マスＡ, Ｂは候補数字５の強いリンクで結ばれている」と説明しました。
　しかし、あらためてその盤面を見てみると（図5-1）、Ａ, Ｂについては次の関係も成り立つんです。

  • マスＡに５が入った場合、マスＢに５は入らない。
  • マスＢに５が入った場合、マスＡに５は入らない。

　あれ！？
　これ、まさに弱いリンクの関係じゃぁないですか！
　つまり、２マスＡ, Ｂの候補数字５は弱いリンクで結ばれているとも言えるんです。

　そうかぁ。
　２マスＡ, Ｂは強弱両方のリンクで結ばれていることになるんだな。

図 5-2

　図2-3 のところでは、「マスＡでは４と６が強いリンクで結ばれている」と説明しました。
　しかし、同様にその盤面を見てみると（図5-2）、４と６については次の関係も成り立つんです。

  • ４が入った場合、６は入らない。
  • ６が入った場合、４は入らない。

　なんと！
　これも弱いリンクの関係だ！
　つまり、マスＡでは候補数字４と６は弱いリンクで結ばれているとも言えるんです。

　あれ？
　４と６って強弱両方のリンクで結ばれていることになるの？？

　結局、何が言えるのか？
　こういうことなんです。

強いリンクで結ばれているものは、必ず弱いリンクでも結ばれている。

　つまり、強いリンクで結ばれている場合、必ず強弱２本のリンクで結ばれているのです。
　ということは、ＡとＢが強いリンクで結ばれている場合、わざと「ＡとＢは弱いリンクで結ばれている」と考えても良いことになる。
　そのため、「強いリンクを弱いリンクに置き換えて考える」ということが可能です。

　別の見方をすると、強いリンクは弱いリンクの性質も併せ持つと考えて差し支えありません。
　強いリンクは弱いリンクでもある。
　リンクの重要な性質です。

６．グループリンク

　このセクションでは、さらに複雑なリンクであるグループリンクについて解説していきます。
　内容はだいぶ難しく、また実用性はほぼゼロなので、必ずしも読む必要はありません。
　心や時間に余裕のある時にでも読んじゃってください😊

図 6-1

　セクション3-1では２マス間の弱いリンクについて説明しました。
　３マスＡ, Ｂ, Ｃについては、互いに弱いリンクで結ばれていることがわかっています。
　ここでは、ちょっと違う考え方をしてみましょう。

　２マスＢ, Ｃは同じブロックに属していますね。
　そこで、ＢとＣをひとまとめにしちゃいます（図6-1）。
　そうすると、ＡとＢＣには次の関係が生じます。

  • Ａに７が入らない場合、ＢＣのどちらかに必ず７が入る。
  • ＢＣのどちらにも７が入らない場合、Ａに必ず７が入る。

　そして、ＡとＢＣには次の関係も生じます。

  • Ａに７が入った場合、ＢＣのどちらにも７は入らない。
  • ＢＣのどちらかに７が入った場合、Ａには７が入らない。

　……あれ？
　ＡとＢＣって、なんか強いリンクや弱いリンクの関係がありそう!?

図 6-2

　じゃぁ、２マスＢ, Ｃをまとめて「グループＸ」としちゃいましょう。
　そして、「ＢＣのどちらかに７が入る」を単に「グループＸに７が入る」と表現することにします。

　すると、図6-1 で示した関係は次のように言い換えられるんです。

  • Ａに７が入らない場合、Ｘに必ず７が入る。
  • Ｘに７が入らない場合、Ａに必ず７が入る。
  • Ａに７が入った場合、Ｘに７は入らない。
  • Ｘに７が入った場合、Ａに７は入らない。

　なんと、マスＡとグループＸは候補数字７のリンク（強弱両方とも）で結ばれるという結果になりました！

図 6-3

　こういうふうに、２マス間のリンクはマス単体に限りません。
　同じ列かつ同じブロックに属する複数のマスをグループ化させ、グループごと結ぶというリンクもあるんです。
　これを グループリンク と呼ぶことにしましょう。

　グループリンクにも強弱の２種類があります。
　図6-2 は強いグループリンクの例になっています。
　図6-3 は弱いグループリンクの例です。
　赤色タテ列において、グループＸとマスＡは候補数字６の弱いグループリンクで結ばれています。グループＸとマスＢも弱いグループリンクで結ばれています。

　グループリンクにおいても、セクション５の性質が成り立ちます。
　強いグループリンクを弱いグループリンクとみなして考えることが可能です。

図 6-4

　図6-2 では、マス単体とグループを結ぶリンクを考えました。
　もちろん、グループ同士を結ぶリンクというものもあります。

　図6-4、マスＡとグループＸは候補数字８の強いグループリンクで結ばれています。
　マスＢとグループＹも候補数字８の強いグループリンクで結ばれていますね。

　そして、ＸもＹも緑色ブロックに属していることに注意しましょう。
　実は、ＸとＹには次の関係が生じています。

  • Ｘに８が入った場合、Ｙに８は入らない。
  • Ｙに８が入った場合、Ｘに８は入らない。

　つまり、緑色ブロックにおいてＸとＹは候補数字８の弱いグループリンクで結ばれていることになるんです。
　Ａ, Ｘ, Ｙ, Ｂの４つは強弱のグループリンクでチェーンのように一本につながっているんですね。

　ここで、注意がひとつ。
　緑色ブロックにおいて、ＸとＹは強いグループリンクでは結ばれていません。
　なぜなら、緑色ブロックには数字８の入り得るマスがＸとＹ以外にも存在するからですね。

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