【解法】Reverse BUG

　図1-1 を見てみましょう。
　ポツポツ散らばった黄色６マスに数字が入っていますね。
　黄色全体を見ると、次の状況になっています。

• どの黄色マスにも数字１, ２どちらかが入っている。
• 黄色マスの属するどの列やブロックを見ても、黄色マスは２つある。さらに、その２マスには数字１, ２が１個ずつ入っている。

　例えば、左端のタテ列には黄色マスがちょうど２つありますね。
　その２マスには数字１と２が１個ずつ入っている。
　これは、黄色マスの属する列・ブロックすべてに言えることです。

　この黄色６マス、実は、ある行為ができるんです。

　数字を交換しても完成図ができる！

　他のマスを全部埋めると、図1-2 左側のように完成図ができあがります。
　そこから黄色マスの数字１と２を交換すると、図1-2 右側のようになった。

　なんと、これも完成図になっていた！
　白マスの数字はそのままに、黄色６マスをいじるだけで別の完成図を作れるんですね。

　今、この黄色６マスに数字は１つも入ってないとしましょう。
　この盤面、どういう状況になっているでしょうか？

あっ、複数解が発生してる！

　なんと、黄色６マスは複数解パターンになっちゃうんです。
　前図1-2 がちょうど２通りの解になっていますね。

　というわけで、唯一解のためには黄色領域を空っぽにしてはいけません。
　それを避ける手立てが必要です。
　具体的には、黄色領域のどこかにヒント数字を置く必要があるんです。

　もちろん、この話は黄色領域に限りません。
　どの unavoidable set にも当てはまります。

• unavoidable set を空っぽにすると複数解パターンになる。
  それを避けるには、どの unavoidable set にもヒント数字が必要である。

　これが unavoidable set と複数解パターンの密接な関係です。

　図1-4、黄色６マスを見てみましょう。
　この６マスの数字はどれもヒント数字ではなく、解いている途中で書かれた数字だとしましょう。
　この unavoidable set は現れたらダメなんです。
　もし実戦で現れたなら、解いている最中にどこかでミスをしているはず！

　対して、ヒント数字のある unavoidable set は普通に存在します。
　これは 次図1-5 で具体例を示しましょう。

　図1-5。
　唯一解を持つナンプレを解いたら、黄色６マスに unavoidable set。
　複数解は生まれず、何も不都合はありません。

　ヒント数字のない unavoidable set は絶対にダメ。
　ヒント数字のある unavoidable set は普通にＯＫ。
　唯一解ナンプレでは、このように大きな違いが出てきます。
　この点、注意しましょう。

　図2-1 を見てみましょう。
　完成図ですが、数字１と２にだけ注目していきます。

　まずは黄色６マス。
　前セクション１で説明した通り、これは unavoidable set です。
　黄色マスの１と２を交換しても完成図ができますもんね。

　では、残りの数字１, ２はどうなんでしょう？
　赤色12マスです。
　ここで、ちょいと試しに赤色マスの１と２を交換してみましょうか。

　あら！
　これも完成図になってる！

　なんと、黄色マスだけかと思いきや、赤色マスも同じ性質を持っていた！
　赤色12マスも unavoidable set だったんですね。
　なんと、仲間がもう１人いたんです。

　一般的な話をしましょう。
　これが成り立つんです。

• 数字ａ, ｂのみで構成される18マス未満の unavoidable set が見つかった時、残りのマスでも数字ａ, ｂの unavoidable set が必ず見つかる。

　２つの数字からなる unavoidable set は（18マス未満なら）必ず複数存在する。
　ここが重要です。

　unavoidable set クン、君は独りぼっちじゃないのさ。

　ここで、セクション１を思い出しましょう。
　unavoidable set のマス全部が空きマスだと非常にマズいわけですね。
　ヒント数字のない unavoidable set は存在してはいけないから。
　ということは、黄色も赤色もヒント数字０個ではダメなんです。

• どちらの unavoidable set もヒント数字を最低１個持つ。

　黄色＆赤色、両方ともヒント数字を抱えなきゃいけないんですね。
　「両方とも」です。
　ここ、すっごく大事！

　逆に、もし片方の unavoidable set にしかヒント数字が存在しなかったとしたらどうなるか。
　例えば、赤色がヒント数字１, ２を独占していたとしたら……？

　もぅもぅ明らかですね。
　図2-4 の通りです。
　赤色の方は一意に決まって何の支障もないけれど、黄色の方は……？

　最終結論。
　これが成り立ちます。

• 数字ａ, ｂで構成される18マス未満の unavoidable set は、ヒント数字ａ, ｂを独占してはならない。

　これが解法 Reverse BUG の核となるロジックです。

　図3-1 を見てみましょう。
　問題図から少しだけ解き進めたところです。
　ヒント数字があちこちに散らばっていますが、ここでは２種類の数字に注目しましょう。
　３と６です。

　よく見たら、ヒント数字３と６はたった３カ所にしかありません。
　しかも、こういう状況です。

• ヒント数字３と６は、すべて黄色マス内部にある。
• マスＡに数字３が入ると、黄色領域は unavoidable set になる。

　これはもぅ「もしマスＡが３だとすると……？」な〜んて考えてみたくなっちゃう。
　そして、解法 Reverse BUG で解決の糸口が見えてきそうです。

　前図3-1 からはどういう結論になるんでしょう？
　こうなります。

• マスＡから候補数字３を除去できる。

　あら。
　「もしマスＡが３だとすると……？」なんて言ってたら、その数字３が消えちゃうという😓

　なぜこういう結論になるんでしょう？
　それは、セクション２で述べたロジックが理由です。
　そのロジックを 図3-2 に適用してみると……、

• 数字３, ６で構成される18マス未満の unavoidable set は、ヒント数字３, ６を独占してはならない。

　Ａ＝３としてしまうと、黄色は unavoidable set になってヒント数字３, ６を独占しちゃう。こりゃぁマズい💦
　こういうわけですね。
　セクション２のロジックを使えば、一発でわかります😄

　「マスＡに数字３が入る」と仮定したら、一体何が起こるのか？

　黄色４マスでは数字３, ６の unavoidable set ができました。
　ここで、図2-2 の話を思い出しましょう！
　黄色領域には別の仲間がいるんです。

• 数字３, ６からなる unavoidable set は他の場所にも存在する。

　黄色は４マスだから、最大14個の数字３, ６からなる unavoidable set が盤面のどこかに必ずある。
　黄色マス以外の３と６は青色領域に入るから、その unavoidable set は青色の中に隠れていることは間違いない。
　今はその姿が見えないが、まぁ解き進めよう。
　さすれば、やがて姿を現すであろう……。

　だがしかし！
　この青色領域にヒント数字３と６はあるでしょうか？

なんと、１つもありません！

　これは何を意味するのか？
　解き進めていくと姿がハッキリするであろう unavoidable set は、もぅ……こういう状態になってしまっているんです。

• 数字３, ６からなる unavoidable set なのに、ヒント数字３と６が１つもない。

　ああぁ、これはマズい！
　セクション１で述べた通り、ヒント数字のない unavoidable set は存在してはならないのです。
　よって、「マスＡに数字３が入る」という仮定は却下せざるを得なくなりました。

　図3-2 の結論通りになりましたね😊

　図4-1 を見てみましょう。
　問題図から６マス埋まったところです。
　今回注目する数字は２と９です。

　この２種類の数字、すべて黄色領域の中にしかありません。
　しかも、マスＡには候補数字９、マスＢには候補数字２。
　いかにも「Reverse BUG を使え〜使え〜！」と言わんばかりの雰囲気が漂ってますね😅

　前図4-1 からは最終的にこうなります。

• マスＸに数字３が確定する。

　なぜこういう結論になるんでしょう？
　それを解説しましょう。

　まず、解法 Reverse BUG によって、こういう結果が得られます。

• 「Ａ＝９ かつ Ｂ＝２」は成り立たない。

　なぜか？
　もし仮にマスＡに９、マスＢに２を入れてしまうと、マズい状況に陥るからです。
　黄色８マスで unavoidable set ができあがるけれど、盤面に５つあるヒント数字２, ９を独占しちゃいますもんね。
　セクション２のロジックが効いています。

　というわけで、次の少なくとも一方は成り立つことになりました。
　（両方成り立つ可能性もある）

1. マスＡから候補数字９が除去される。
2. マスＢから候補数字２が除去される。

　それぞれ話を進めてみましょう。
　a. の場合、マスＡの候補数字は５, ７になりますね。
　すると、ブロック内部で２マスＡ, Ｃの２国同盟が発生！
　そのあおりを受けて、マスＸには数字５も７も入れられなくなっちゃいました（図4-3）。

　b. の場合も同様です。
　マスＢの候補数字は５, ７になり、ヨコ列内部では２マスＢ, Ｃの２国同盟が発生します。
　よって、マスＸには数字５も７も入れられません。

　どちらにしろ、マスＸに数字３が確定するわけですね。
　図4-2 の結論通りになりましたね😊

　まずは、最小値です。
　これは、次の状況の時に最も少なくなります。

• すべての unavoidable set が18マスで構成されている。

　つまり、「どの数字ペアに対しても unavoidable set は１個しかない」という状態ですね。
　例えば、図5-1 の盤面はそういう状態になっています。

　この場合、unavoidable set の個数はいくつになるのか？
　数字ペア１組に対して set が１個対応するわけなので、９つの数字から２つを選ぶ場合の数と同じですね。

　というわけで、最小値は36個でした😊

　次は最大値です。
　まず、特定の数字ペアに対する unavoidable set は最大何個できるのかを考えてみます。
　例えば、数字１, ２の unavoidable set は最大何個作れるんでしょう？

　答えは４個です。
　図5-2 のような形ですね。
　赤色、青色、黄色、緑色。全部で４つ。

　ペア１組あたり最大４個の set ができる。
　ということは、unavoidable set の最大個数は次の式で求まりそう。

　ただ、困ったことがひとつ。
　９×９の狭い空間に全ペア４個ずつ詰め込めるんだろうか……？
　そんな都合の良い完成図は無理かもしれません。
　だから、理論上は144個が最大ということにしておきましょう😊