【ナンプレ解説】Unavoidable Set

１．ナンプレは解を１つしか持たないパズルである

　雑誌やスマホアプリなどで世に出ているナンプレを解いていくと、すべてのマスが数字で埋まって解き終えることができますね。
　これは「ナンプレの解はただ１つしかない」ということを意味しています。
　しかし、実は、ナンプレのルールには「解は１つしか持たない」という文言がありません。
　タテ列・ヨコ列・ブロックに関するルールはあるけれど、解の個数については明記されていないんですね。

　でも、何百何千と解いてきた方々でも、複数解を持つナンプレを目にしたことはほとんどないと思います。
　あったとしてもそれは出題者側のミスで、後にお詫びが掲載されたりする。
　というのも、ナンプレは「解は必ずただ１つ」が原則であり、複数解を持つナンプレは良い作品とは認められないからなんです。

　そうなると、その原則に則った解法が考え出されてもおかしくありません。

解はただ１つしかない。
じゃぁ、複数解が生じるような理屈はおかしいんじゃない？

　こういうわけですね。
　そういう観点からさまざまな解法が生まれていきました。

　複数解を逆手に利用した解法は多く存在し、「複数解パターン」と呼ばれる物が各解法ごとに存在します。
　それとは別に、高難度な解法に対しては「unavoidable set」という物を使うことがあります。
　当ページでは、この unavoidable set を解説していきます。

　なお、このページの内容は高難度です。
　解法 Avoidable Rectangle や Reverse BUG などでしか使わないので、必要になった時にご覧ください😄

２．unavoidable set とは何ぞや？

図 2-1

　図2-1 を見てみましょう。
　こぢんまりと散らばった黄色６マスに数字が入っていますね。
　黄色全体を見ると、次の状況になっています。

どの黄色マスにも数字１, ２どちらかが入っている。
黄色マスの属するどの列やブロックを見ても、黄色マスは２つある。さらに、その２マスには数字１, ２が１個ずつ入っている。

　例えば、左端タテ列には黄色マスがちょうど２つありますね。
　その２マスには数字１と２が１個ずつ入っている。
　これは、黄色マスの属する列・ブロックすべてに言えることです。

　この黄色６マス、実は、ある行為ができるんです。

図 2-2

　数字を交換しても完成図ができる！

　他のマスを全部埋めると、図2-2 左側のように完成図ができあがります。
　そこから黄色マスの数字１と２を交換すると、図2-2 右側のようになった。

　あら、これも完成図になってるね！
　白マスの数字はそのままに、黄色６マスの数字をいじるだけで別の完成図を作れるんですね。

　図2-2 のように、数字を交換してもまた完成図になれる。
　この黄色領域を unavoidable set と呼びます。
　図2-1 は黄色６マスで構成される unavoidable set です。

　実は、unavoidable set と複数解パターンの間には密接な関係があります。
　そして、その関係性から、唯一解に関して重要な性質を持っています。
　それを説明しましょう。

図 2-3

　今、この黄色６マスに数字は１つも入ってないとしましょう。
　この盤面、どういう状況になっているでしょうか？

あっ、複数解が発生してる！

　なんと、黄色６マスは複数解パターンになっちゃうんです。
　前図2-2 がちょうど２通りの解になっていますね。

　というわけで、唯一解のためには黄色領域を空っぽにしてはいけません。
　それを避ける手立てが必要です。
　具体的には、黄色領域のどこかにヒント数字を置く必要があるんです。

　もちろん、この話は黄色領域に限りません。
　すべての unavoidable set に当てはまります。

unavoidable set を空っぽにすると複数解パターンになる。
それを避けるには、どの unavoidable set にもヒント数字が必要である。

　これが unavoidable set と複数解パターンの密接な関係です。

　どの unavoidable set にもヒント数字が必要である。
　これはナンプレが唯一解を持つための必須条件です。
　また、この必須条件は次のように言い換えることもできますね。

唯一解を持つナンプレには、ヒント数字のない unavoidable set は１つも存在しない。

　これが unavoidable set の持つ重要な性質です。
　ヒント数字の有無、ここがすごく大事！

　また、この性質はナンプレを解く上でも決定的な違いを生みます。
　それも説明しましょう。

図 2-4

　最も簡単な unavoidable set を例にとります。
　図2-4 の左上/右下、１２２１と並んだ４マスです。

　左上の黄色４マス、どの数字もヒント数字ではなく、解いている途中で書かれた数字だとしましょう。
　この unavoidable set は現れたらダメなんです。
　もし実戦で現れたなら、解いている最中にどこかでミスをしているはず！

　対して、右下の４マスにはヒント数字（黒色）があったとしましょう。
　この unavoidable set は現れてもＯＫです。
　この４マスからは複数解が生じることはなく、何ら不都合はありません。

図 2-5

　実際、ヒント数字付きの unavoidable set は普通に存在します。
　例えば、図2-5。
　唯一解を持つナンプレを解いてみたら、黄色４マスに現れた！

　ヒント数字のない unavoidable set は絶対にダメ。
　ヒント数字のある unavoidable set は普通にＯＫ。
　唯一解ナンプレでは、このように大きな違いが出てきます。
　この点、注意しましょう。

　この形の unavoidable set は、解法 Avoidable Rectangle や Reverse BUG などで使われます。
　詳細は Avoidable Rectangle や Reverse BUG のページをご覧ください。

　余談ですが、Sudopedia（ミラーサイト）の Unavoidable Set のページによると、It is unavoidable for the puzzle maker to place at least one given in one of these cells.と書かれていました。
　「これらのマスのどこかにヒント数字を最低１つ配置する。ナンプレ製作者はそれを避けることができない」と。
　ここから「unavoidable set」という用語が生まれたのかもしれませんね。

３．２列に存在する unavoidable set

　実は、unavoidable set には別の形も存在します。
　それを解説しましょう。

図 3-1

　図3-1 を見てみましょう。
　黄色６マスが整列していますね。
　黄色全体を見ると、次の状況になっています。

黄色マスはヨコ２列にのみ存在している。また、その２列は同じ chute に属している。
黄色マスの属するどのタテ列を見ても、黄色マスが２つある。
ヨコ２列とも、黄色マスに入っている数字の組み合わせは同じである。

　黄色マスは上から２行目＆３行目に存在しています。
　そして、どちらのヨコ列も黄色マス内部の数字は１〜３ですね。
　chute については次図3-2 で説明することにしましょう。

　この黄色６マス、実は、ある行為ができるんです。
　それは図3-3 にて。

chute とは何ぞや？

図 3-2

　chute とは、ブロック３個並んだ３×９マスの領域を指します。
　chute にはヨコ長とタテ長の２種類があります。
　図3-2 では、ヨコ２列とも青枠の chute に存在しているわけですね。

　実は、２列から生まれる unavoidable set において、その２列は次の条件を満たさなければいけません。

２列とも同じ chute に属する。

　２列が別々の chute に属していると、次図3-3 のような数字交換はできなくなります。
　ご注意ください。

図 3-3

　図3-1 の黄色６マス、実は……、

数字を交換しても完成図ができる！

　他のマスを全部埋めると、図3-3 左側のように完成図ができあがります。
　そこから黄色マスの数字を上下まるごと交換してみると、図3-3 右側のようになる。

　なんと、これも完成図になってるじゃぁないですか！
　白マスの数字はそのままに、黄色６マスの数字をいじるだけで別の完成図を作れるんですね。

　図3-3 のように、数字を交換してもまた完成図になれる。
　この黄色領域を unavoidable set と呼びます。
　図3-1 は黄色６マスで構成される unavoidable set です。

図 3-4

　今、この黄色６マスに数字は１つも入ってないとしましょう。
　この盤面、どういう状況になっているでしょうか？

あっ、これは複数解だ……。

　なんと、黄色６マスは複数解パターンになっちゃうんです。
　前図3-3 がちょうど２通りの解になっていますね。

　もちろん、この話は黄色領域に限りません。
　すべての unavoidable set に当てはまります。

unavoidable set を空っぽにすると複数解パターンになる。
それを避けるには、どの unavoidable set にもヒント数字が必要である。

　これが unavoidable set と複数解パターンの密接な関係です。

唯一解を持つナンプレには、ヒント数字のない unavoidable set は１つも存在しない。

　これが unavoidable set の持つ重要な性質です。
　ヒント数字の有無、ここがすごく大事！

　また、この性質はナンプレを解く上でも決定的な違いを生みます。
　それも説明しましょう。

図 3-5

　２つの unavoidable set を例にとります。
　図3-5 の上側/下側、ヨコ２列並んだ６マスです。

　上側の黄色６マス、どの数字もヒント数字ではなく、解いている途中で書かれた数字だとしましょう。
　この unavoidable set は現れたらダメなんです。
　もし実際に現れたとしたら、解いている最中にどこかでミスをしているはず！

　対して、下側の６マスにはヒント数字（黒色）があったとしましょう。
　この unavoidable set は現れてもＯＫです。
　この６マスからは複数解が生じることはなく、何ら不都合はありません。

図 3-6

　実際、ヒント数字付きの unavoidable set は普通に存在します。
　例えば、図3-6。
　唯一解を持つナンプレを解いてみたら、黄色６マスに現れた！

　ヒント数字のない unavoidable set は絶対にダメ。
　ヒント数字のある unavoidable set は普通にＯＫ。
　唯一解ナンプレでは、このように大きな違いが出てきます。
　セクション２と同様に注意が必要ですね。

　この形の unavoidable set は、解法 Reverse BUG Lite で使われます。
　詳細は Reverse BUG Lite のページをご覧ください。

４．複雑な unavoidable set

図 4-1

　今までは、簡単な unavoidable set を紹介しました。
　候補数字が２種類だけだったり、２列だけだったり。
　もちろん、さらに複雑な unavoidable set は存在します。
　ただ、それを活用する解法はおそらく無さそうなので紹介だけ。

　例えば図4-1 ですね。
　黄色12マスに並んだ数字１〜５です。

図 4-2

　黄色マスから数字を取り除いてみると、図4-2 の通り。
　複数解パターンができました。
　ちなみに、図4-2 には３通りの解があります。

　この場合も、黄色領域にヒント数字をいくつか置かないと複数解は解消されません。
　結論は同じですね😃

唯一解を持つナンプレには、ヒント数字のない unavoidable set は１つも存在しない。

５．ヒント数字のない unavoidable set が実際に現れたらどうなるの？

　unavoidable set について「ヒント数字のない unavoidable set はダメ」と述べました。
　その理由は、図2-3 や図3-4 で説明した通り「複数解パターンが生じるから」です。

　複数解系解法の解説では、複数解パターンをＮＧとする根拠として「複数解が生じるから」がよく挙げられます。
　でも、ナンプレ盤面に本当に複数解パターンが現れた時、何か不都合が起きるんでしょうか。

そもそも、実際に複数解パターンが現れたら一体何が起こるのか？

　実は、必ず破綻が起こるんです。
　なぜなら、唯一解を持つナンプレに複数解パターンは絶対に現れないから。
　その理由は複数解パターンのページで解説しています。

　ヒント数字のない unavoidable set が実際に現れると複数解パターンが生まれ、破綻へと繋がる。
　というわけで、ヒント数字のない unavoidable set が盤面に現れてはいけないんですね。
　複数解パターンとともに、これも必ず避けましょう！

更新履歴

2024.11.22.
- 解説「ナンプレの複数解」から独立し、内容を加筆・修正して公開。
- unavoidable set の定義が間違っていたので、お詫びとともに訂正。