【解法】Unique Rectangle

　図1-1 を見てみましょう。
　黄色４マスが矩形状に並んでいますね。
　この４マスは次の状況になっています。

• 黄色４マスは、タテ２列・ヨコ２列・ブロック２個にのみ属している。
• どの黄色マスも候補数字は２つだけ。しかも、すべて同じ。

　黄色マスの属するヨコ列は２つ（２行目と４行目）。
　黄色マスの属するタテ列は２つ（２列目と３列目）。
　黄色マスの属するブロックは２つ（左上隅とそのすぐ下）。
　そして、どの黄色マスも数字１と２しか入れられません。

　ナンプレを解く上で 前図1-1 のような箇所があると、不都合が生じます。

最後まで解き終えることができない！

　一応、うまいこと解き進められれば、図1-2 のように 77マスまでなら数字で埋められるかもしれません。
　ところが、これ以上マスが埋まらない。
　どうしてもここから先へ進めない！

　それもそのはずで、前図1-2 の状況からは完成図を２通り作ることができるんです。
　図1-3 のように。
　黄色マスのどれか１つに数字１を入れても数字２を入れても完成できてしまう……。

　結局、図1-1 の状況が生まれた時点で、そのナンプレは複数解を免れないんですね。
　図1-1 の黄色４マス、これを 複数解パターン と呼びます。

　まずは簡単な例を。
　図2-1、矩形状に並んだ黄色４マスを見てみましょう。
　この４マスには候補数字３と７がありますね。
　そして、マスＡにだけ候補数字９もオマケで付いています。

　この候補数字９のように、複数解パターンに直接関わらない候補数字のことをここでは オマケ候補 と呼ぶことにしましょう。

　この場合、こういう結論になります。

• マスＡに数字９が確定する。

　なぜでしょう？
　それは、もしマスＡに数字９が入らないと仮定すると、図1-1 で紹介した複数解パターンが現れてしまうからです。
　それは避けなければいけないから、マスＡには９を入れなければいけないんです。

　図2-1 の場合はマスＡのオマケ候補が９しかないので、すぐにマスＡに９が確定しました。
　一般には「候補数字３と７が複数解パターンを作っちゃうから、マスＡから候補数字３も７も除去される」と解釈すると良いでしょう。

　２つめはこんな感じ。
　前図2-1 と同様に、黄色４マスが矩形状に並んでいます。
　共通の候補数字は２と６。
　そして、２マスＡ, Ｂには候補数字８もオマケで付いています。

　この場合、こういう結論になります。

• ２マスＡ, Ｂと列やブロックを共有しているマスから候補数字８を除去できる。

　図2-2 だと、×印の箇所です。
　これらの候補数字８が除去されます。
　なぜかと言うと、もしマスＡ, Ｂ両方とも候補数字８を除去してしまうと、複数解パターンが現れてしまうからです。
　それは避けなければいけない。よって、マスＡ, Ｂのどちらかに必ず８が入ると考えなければいけない。

　したがって、Ａ, Ｂの属するタテ列とブロックから候補数字８が大量除去されることになるんです。

　例をもうひとつ！
　今度はだいぶ複雑です。
　同様に黄色４マスが矩形状。共通の候補数字は１と９です。
　２マスＡ, Ｂのオマケ候補は３, ５, ７。
　この場合の結論はこうなります。

• オマケ候補３, ５, ７を全部除去できるマスが生じる。

　図2-3 のミソは２マスＣ, Ｄの候補数字も３, ５, ７だということ。
　Ａ, Ｂのオマケ候補とまったく同じなんです。

　複数解パターンを避けるためには、「マスＡに３か５が入る」「マスＢに３か７が入る」のどちらかが必要です。
　前者の場合、２マスＡ, Ｄで数字３と５の２国同盟ができ、そのおかげでマスＣに７が確定します。Ａ, Ｃ, Ｄの３マスを３, ５, ７が占拠することになります。
　後者の場合、３マスＢ, Ｃ, Ｄで３国同盟ができ、その３マスを３, ５, ７が占拠することになります。
　どちらにしても、上から２つめのヨコ列において３マスに数字３, ５, ７が占拠してしまう形ができあがります。

　よって、右端の２マスには３も５も７も入れられなくなるんです。

　これでラスト！
　この例は次セクション３の unavoidable set が根拠になるので、話が前後しちゃいます。ごめんなさい💦

　図2-4、同様に黄色４マスが矩形状。
　共通の候補数字は５と９です。
　今回の結論はこうなります。

• ２マスＣ, Ｄから候補数字９を除去できる。

　今回はオマケ候補は重要ではなく、候補数字５が重要です。
　２マスＣ, Ｄの属するタテ列（またはブロック）を見ると、５の入るマスはＣ, Ｄしかありません。

　ここで、Ｃ＝５の場合を考えてみます。
　この時 Ａ＝９, Ｂ＝５ も確定し、３マスＡ〜Ｃに９, ５, ５が並ぶ。
　ということは、もしマスＤに数字９が入ったとしたら……ヒント数字のない unavoidable set ができてしまう！
　それは避けなきゃいけないから、Ｄ≠９。
　もとより Ｃ≠９ なので、２マスＣ, Ｄに数字９は入りません。

　Ｄ＝５の場合も同様で、２マスＣ, Ｄに数字９は入りません。
　どちらにせよ、上記の結論に至るわけです。

　図1-3 をもう一度（図3-1）。
　図1-3 の解説では、２通りの完成図ができて複数解を持つと述べました。
　ここでは、別の見方をしてみましょう。
　黄色４マスに着目すると、こういう言い方もできるんです。

• 黄色４マスの数字１と２を交換すると、別の完成図ができる。

　今回は、こういう数字の並びを持つマス達が主題です。

　今、この黄色４マスに数字は１つも入ってないとしましょう。
　この盤面、どういう状況になっているでしょうか？

あっ、複数解が発生しちゃってる……。

　なんと、黄色４マスは複数解パターンになっちゃうんです。
　前図3-1 がちょうど２通りの解になっていますね。

　というわけで、唯一解のためには黄色領域を空っぽにしてはいけません。
　それを避ける手立てが必要です。
　具体的には、黄色領域のどこかにヒント数字を置く必要があるんです。

　もちろん、この話は黄色領域に限りません。
　すべての unavoidable set に当てはまります。

• unavoidable set を空っぽにすると複数解パターンになる。
  それを避けるには、どの unavoidable set にもヒント数字が必要である。

　これが unavoidable set と複数解パターンの密接な関係です。

　図3-3、unavoidable set を２つ用意しました。
　この２つには大きな違いがあります。

　まずは左上。
　黄色４マスのどの数字もヒント数字ではなく、解いている途中で書かれた数字だとしましょう。
　こういう unavoidable set が現れてはならないんです。
　もし実戦で現れたなら、解いている最中にどこかでミスをしているはず！

　一方、右下の４マスにはヒント数字（黒色）があったとしましょう。
　こういう unavoidable set は現れてもＯＫです。
　この４マスからは複数解は生まれず、何の不都合もありません。

　実際、ヒント数字付きの unavoidable set は普通に存在します。
　図3-4 とか。
　唯一解を持つナンプレを解いたら、黄色４マスに現れた！

　ヒント数字のない unavoidable set は絶対にダメ。
　ヒント数字のある unavoidable set は普通にＯＫ。
　唯一解ナンプレでは、このように大きな違いが出てきます。
　この点、注意しましょう。

　図4-1、矩形状に並んだ黄色４マスＡ〜Ｄを見てみましょう。
　その４マスはこういう状況です。

• 黄色４マス共通の候補数字が２つある。図4-1 だと２と８。
• オマケ候補のないマスが最低１つあり、他の３マスのうち２マス以上がオマケ候補を持っている。

　この時、注目すべきマスは２つあります。
　オマケ候補を持たないマスと、その対角に位置するマスです。
　図4-1 だと、マスＤとＡの２つですね。
　この２マスは次の特徴を持っています。

• マスＤにはオマケ候補が１つもない。
• マスＡの属するヨコ列（青色）において、候補数字８はＡ, Ｂにしか存在しない。
• マスＡの属するタテ列（赤色）において、候補数字８はＡ, Ｃにしか存在しない。

　さて、この状況からどういう結論が得られるんでしょう？
　こうなります。

• マスＡから候補数字２を除去できる。

　なぜでしょう？
　それは、マスＡに数字２を入れると「ヒント数字のない unavoidable set」ができてしまうからなんです。
　だからマスＡに数字２を入れてはダメ、というわけです。

　実際にそうなるのか、確かめてみましょう。

　今、マスＡに数字２が入ったと仮定しましょう。
　すると、Ａの属するヨコ列では数字８はマスＢにしか入らない。
　Ａの属するタテ列では数字８はマスＣにしか入らない。
　その後、マスＤには自動的に数字２が確定。
　結果、黄色４マスに２８８２が並んだ。
　図4-3 の通りになりました。

　……あれ？
　この４マス、unavoidable set じゃん！
　しかも、どれもヒント数字ではない！

　そうなんです。
　ＮＧの状況が起きてしまった。
　したがって、「マスＡに数字２が入る」という仮定は間違いだとわかりました。

　前図4-2 の結論通りになりましたね😊

　図5-1 は、解いている途中のナンプレ盤面です。
　問題図に最初からあるヒント数字は黒色、解いている途中で判明した数字は青色で示しています。

　この盤面を使って Avoidable Rectangle を解説しましょう。
　とりあえず、先に結論を言っちゃいます。

• マスＡに数字８は入らない。

　理由は、赤色４マスに Avoidable Rectangle を適用できるから。
　あっ、見ての通り今はまだです😅
　別の場所で Unique Rectangle を使うと赤色４マスに準備が整うので、まずは下準備といきましょう！

　では下準備。
　ところ変わって、図5-2 の黄色４マス。
　なんと、ここに Unique Rectangle が隠れてた！
　図2-1 と同じ理屈で数字が確定しますね。

• マスＢに数字８が確定する。

　黄色４マスを複数解パターンにしないよう、数字８が入ります。

　Unique Rectangle のおかげで、ちょっと解き進みました。

　さぁ、ここで赤色４マスに戻りましょう。
　なんと、３マスが８, ４, ４で埋まってた！
　ここで解法 Avoidable Rectangle が使えるんです。

• マスＡに数字８は入らない。

　理由は、マスＡに数字８が入ると「ヒント数字のない unavoidable set」ができあがってしまうからですね。
　それを避けるために、マスＡから候補数字８を除去。
　結果、数字２が確定しました。
　めでたし😊

　既に埋まっている８, ４, ４はすべて問題図にはなかった数字。
　これがこの解法の大事なところ。
　もし仮に赤色４マスのどこかにヒント数字があったなら、話はまったく違います。８４４８の形は何もおかしくはなく、Avoidable Rectangle は使えません。