フィボナッチ数列と面積１のパラドックス

　パラドックスの定番として、こんな話がありますよね。
　直角三角形をいくつかに分割して並べ替えると……

あれ !?　同じ直角三角形のはずなのに！
面積１のピースが余っちゃう！

　この話はパズル好きな方々はすでにご存じでしょうし、カラクリについては特に話すことはないでしょう。

　このページでは、もうちょっと踏み込んだ話をしてみます。
　このパラドックス話、実は一般化できるんです。

　これまで、２つの話をしました。
　セクション１は「面積１のピースが余っちゃう！」という話。
　セクション２は「\(ac\) と \(b^2\) の差は必ず 1 になる！」という話。
　どちらも、意味合いとしては「差が１だけ生じる」と言えますね。
　実は、一般化のカギはここにあるんです。

　１で紹介した２つの図形は タテ13×ヨコ21 のサイズでした。
　この 13 と 21 はフィボナッチ数列の中に現れています。
　果たして、これは偶然なのか……？

　いや、偶然なんかじゃぁない。
　実はこんなことが言える！

• フィボナッチ数列の中の隣り合う２つの数 \(c,\ d\ (c \lt d)\) を使って、タテ \(c\) ×ヨコ \(d\) サイズの直角三角形モドキを作る。
  すると、同じようなパラドックス話を展開することができる。

　実際にやってみましょう。
　１は \(c=13,\ d=21\) の場合でした。
　ここでは \(c=34,\ d=55\) としてみましょう。
　さぁ、図3-1 の通りです！

　一般的な話をしましょう。

　フィボナッチ数列の中の隣り合う４つの数 \(a,\ b,\ c,\ d\ (a \lt b \lt c \lt d)\) を拾って、図4-1 の通りに図形を作ってみる。
　すると、図形内部の長方形と正方形の面積は常に１だけ違うんです。
　その理由は、セクション２で述べた「\(ac\) と \(b^2\) の差は 1 である」です。

　ただ、注意しなければいけないのは、\(ac\mspace{-2mu}-\mspace{-2mu}b^2=1\) だけでなく \(ac\mspace{-2mu}-\mspace{-2mu}b^2=-1\) が成り立つ場合もあるということ。
　つまり、隣接４数 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) の選び方によっては長方形の方が広い場合もあるし、逆に正方形の方が広い場合もあるんです。

　ということは、パラドックス話をもう１種類作れますね。
　セクション１と３では「面積１のピースが余った！」という話を紹介したけれど、逆の話もできる。
　「あれ？　面積１のピースが足りないぞ？」なんてね。

　ちなみに、１の話は \(a=5,\ b=8,\ c=13,\ d=21\) の場合です。
　３の話は \(a=13,\ b=21,\ c=34,\ d=55\) の場合に相当します。

　もうひとつ、似たようなパラドックス話がありますよね。
　図5-1 のように、正方形を４つに分割して並べかえると……

あれ？　いつのまにか面積が１減ってる！？

　これも「１違いパラドックス」の定番だけれど、図5-1 をよく見ると、正方形＆長方形ともに各辺の目盛り数字には 5, 8, 13 がある。
　フィボナッチ数列に存在する数字なんです。
　そして、長方形と正方形の面積計算に現れる数字は 8, 13, 21。
　これもフィボナッチ数列に存在している。

　実は、このパラドックス話もフィボナッチ数列で一般化できるんです。
　こんな感じです。

• フィボナッチ数列の隣り合う３つの数 \(b,\ c,\ d\ (b \lt c \lt d)\) を拾い、「一辺を \(c\) とする正方形」と「タテ \(b\) ×ヨコ \(d\) サイズの長方形」を作る。
  これで、同じようなパラドックス話を展開できる。

　一般的な話をしましょう。

　フィボナッチ数列の中の隣り合う４つの数 \(a,\ b,\ c,\ d\ (a \lt b \lt c \lt d)\) を拾って、図5-2 の通りに正方形と長方形を作る。
　すると、この２つの面積は常に１だけ違うんです。
　なぜなら、\(b\), \(c\), \(d\) はフィボナッチ数列の隣り合う３数だから。
　セクション２で「両端の数の積と真ん中の数の２乗との差が１である」と述べました。このおかげで \(bd\) と \(c^2\) の差は必ず１になるわけなんですね。

　もちろん、セクション４と同様に、４数 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) の選び方によっては \(bd\mspace{-2mu}-\mspace{-2mu}c^2=1\) だけでなく \(bd\mspace{-2mu}-\mspace{-2mu}c^2=-1\) が成り立つ場合もあります。
　だから、「面積１減った！」という話のほかに「面積１増えた！」なんていう話もできたりするわけです。

　足し算の連続で作られたフィボナッチ数列。
　これがパズルの世界にも関わっている。
　面白いモンです。

　濃いめの直角三角形、縦横の長さを見てみましょう。
　１では、小さい方は 5 と 8、大きい方は 8 と 13 ですね。
　３では、小さい方は 13 と 21、大きい方は 21 と 34 です。
　この数字達をよく見ると……、フィボナッチ数列の中で隣り合う数になっているんです。

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ……

　斜辺の傾き具合は、直角を挟む２辺の縦横比によって決まります。
　そして、その縦横比が等しければ、傾きも同じになるんですね。
　では、図6-1 にある４つの直角三角形の縦横比をそれぞれ計算してみましょう。
　ヨコ幅をタテ幅で割り算してみます。

8÷5 ＝ 1.6
13÷8 ＝ 1.625
21÷13 ＝ 1.615384……
34÷21 ＝ 1.619047……

　おおぉ！　ずいぶん似たような値が並びましたね。
　縦横比はどれも 1：1.61 くらいかな😃