不規則なアイツは魔方陣でも凄かった

　パズルの定番である魔方陣。
　その亜種はそれはそれは多岐にわたり、数々のパズル本でも紹介されています。
　当ページでは、その中からとあるタイプの魔方陣に目を向けてみました。

１．不規則なアイツ達の魔方陣

　魔方陣。
　まぁ知らない方々はいないでしょう。
　『洛書』の亀の甲羅やデューラーの『メランコリア』などでも知られ、『士官36人の問題』などのエピソードも豊富、「ヒンズーの連続方式」など多種多様な作り方も開発され、何千年もの間たくさんの人々を魅了し続けてきた。
　超有名パズルです。

　魔方陣には、正方形以外にも六芒星や三角錐など亜種も多く存在しています。
　が、ほとんどの魔方陣では数字は１から連続していることが多いでしょう。
　そこで、今回は逆に数字がバラバラな魔方陣を取り上げてみます。
　「不規則なあいつ達」に注目し、「あいつ達も魔方陣には大きな魅力を発揮するよ〜😃」ということを語ってみたい。

図 1-1

　まぁ「不規則」と言ったらアイツですよねアイツ😊
　素数です。
　図1-1、こ〜んな盤面があるんです。

  • ９つの整数はすべて素数である。
  • タテ・ヨコ・対角線、合計値はすべて177である。

　素数でできた魔方陣。
　魔方陣の世界にはこういった物もあるんです。
　ちなみに、３×３サイズでは 図1-1 は合計値最小の物として知られています。

　素数魔方陣については、まず真っ先にこういう疑問が湧いてくることでしょう。
　「どうやって合計値を等しくするんだ？」
　素数に規則性なんて無いようなものなのに、どうやって対角線まで全８列を等しくできてしまうんだろうか？
　盤面を見ても手掛かりはまったく見えず、謎は謎のまま。

　もちろん、闇雲に素数を並べたところで「骨折り損の以下略」ばかりで終わる。
　ところが、素数の持つある性質に気が付くと一筋の光が見えてくるんです。
　その性質は次セクションにて。

２．アイツ達は１か５しかないのだよ

　素数の持つある性質とは一体何か？
　それは「６で割った時の余り」です。
　\(n\) を整数として、どの整数も \(6n, 6n+1, \cdots, 6n+5\) のいずれかの形で表せますね。
　それらと倍数の関係性をちょいと調べてみましょうか。

おや？
素数って、\(\boldsymbol{6n\mspace{-2mu}+\mspace{-2mu}1}\) と \(\boldsymbol{6n\mspace{-2mu}+\mspace{-2mu}5}\) の２種類しかない？？

　そう。素数はすべて \(6n\mspace{-2mu}+\mspace{-2mu}1\) か \(6n\mspace{-2mu}+\mspace{-2mu}5\) の形で表せるんです。
　つまり、素数を６で割った時の余りは１か５のどちらかになる。
　こういうわけですね。
　あ、もちろん \(2\) と \(3\) が素数なのはご承知の通り。ここではその２つは例外とみなして、\(5\) 以上の素数で魔方陣を作ることにしましょう。そうすれば、素数は上記の２種類しかないと言って良い。
　そこで、６で割って１余る素数を １型素数 と呼ぶことにしましょう。
　同様に、６で割って５余る素数は ５型素数 です。

図 2-1

　こうして素数を２つの型に分けたところで、あらためてさっきの素数魔方陣に注目しましょう。
　図1-1 の盤面をもう一度（図2-1）。
　実は、この魔方陣には大きな秘密が１つ隠れているんです。

  • ９つの素数はすべて５型である。

　魔方陣はどの列も合計値が等しい。
　ということは、合計値を６で割った余りも等しい。
　逆に言えば、合計値の余りが各列ごとに不揃いだと魔方陣にはなり得ない。
　不揃いを解消したければ、素数を９つとも同じ型にすればよい。
　これを満たしているのが 図2-1 なんですね。

　となると、不思議なことが１つ成り立つようになる。
　こ〜んなことが言えてしまうんです。

素数魔方陣を作る際に、素数なんて必要ない。

　「どういうことだｗ」とか言われそう😅
　まぁ「必要ない」とまで言っちゃうと語弊があるけれど、素数を直接扱わずに済むようになるんです。
　なぜなら、それぞれの素数から５を引いて６で割り、下図の青色数字のように数値を小さくできるから。

　元の魔方陣から５ずつ引いても魔方陣は保たれます。どの列も合計値が15減るだけだから。
　そして、６で割っても魔方陣は保たれる。どの列も合計値が 1/6倍されるから。
　青色数字の盤面も魔方陣になっているんですね。

　言うまでもなく、青色魔方陣から元の素数魔方陣を復元するのは簡単です。
　しかも、青色数字の方が足し算は簡単で、魔方陣になっているか否かを確認しやすい。
　そういうメリットがあるから、こ〜んな考えが自然に浮かんでくる。

この青色のヤツを作る方が手っ取り早いんじゃね？？

　そう。青色の方が早い。
　だから、素数を直接扱う必要がなくなってしまう、というわけなんです。
　何てことだ😅
　素数魔方陣なのに😅

　「素数 \(6n\mspace{-2mu}+\mspace{-2mu}5\) の \(n\) を３×３に並べて青色魔方陣を作る」
　こういう発想があったんですね。
　もちろん、\(n\) の値によっては \(6n\mspace{-2mu}+\mspace{-2mu}5\) は素数にならないから、そういう \(n\) は除外しましょう。
　素数になるような \(n\) の値を列挙すると、こんな感じ。

　この列挙された中から９つ選んで魔方陣を作れば良い。
　それができたら、後は数値をそれぞれ５型素数に変換すれば良い。
　これで素数魔方陣の完成さ！

　当然のことですが、１型素数に対してもまったく同じ手法が使えます。
　というわけで、実際に作ってみましたよ😃
　青色数字の並びが綺麗だから、個人的には満足しています🥰

　「型を揃える」という一点を意識するだけで、素数魔方陣はこんなにも簡単に作れてしまう。
　視点を１つ知るだけで、素数はこうも違って見えるんだね😊

３．アイツ達はとんでもなく長かった

　ここで、１型素数の魔方陣について話をもうひとつ。
　実は、１型にはもっと秀逸な物があります。

図 3-1

　図3-1 の魔方陣です。
　こういう特徴を持っています。

  • 素数達は \(199, 409, 619, 829,\) ……と \(210\) ずつ増加している。
    つまり、９つの素数は等差数列（初項 \(199\), 公差 \(210\)）をなしている。

　いやはや、素数達の中に長さ９の等差数列が隠れていたとは！
　「素数は不規則」というイメージがあまりにも強すぎるもんだから、長い等差数列が潜んでいるだけでも驚いてしまう。

　しかも、図3-1 は合計値最小の物で、これはほんの序の口です。
　驚いたことに、こういう等差数列タイプの素数魔方陣はまだまだ存在します。
　こういうのを１個作り上げるだけでも大変なのに、図3-1 の兄達はゴロゴロ居る。
　素数魔方陣とはとんでもないシロモノなわけです。

　ところが！
　話はそれだけではなかった。
　素数魔方陣について調べていくと、とある定理を見つけてしまった。
　図3-1 の兄達がゴロゴロ居ることよりも遥かに超えた、素数達の真の凄さを思い知ることとなりました。
　あの定理を知ってから、なんとな〜く当の素数達からはこんなセリフが聞こえてきそうでしかたがない。

「長さ９」なんて、ほんの序の口だぜ！

　2004年。
　素数に関して目を見張るような定理が発表されました。
　B.Green と T.Tao の２人によって証明された、こ～んな定理があるんです。

　素数のみで構成される、任意の長さの等差数列が存在する。

　に…… 任意だと！？
　長さ９どころの話ではなかった😅
　長さ100やら２万やら５億やら、等差数列にも長い長〜い兄達がこの世にゴロゴロ存在した！

　不規則だらけの素数達、こんな驚くような性質を持っていた。
　この定理が直接の原因かどうかはおいといて、図3-1 のような素数等差数列の魔方陣は無限に存在することがわかったわけです。
　朗報！　素数魔方陣は絶対に枯渇しない！

　ただ、残念ながら Green-Tao の定理は単に「等差数列の存在を保証する」だけであって、具体例を示してくれるわけじゃぁありません。
　最初の素数もわからないし、増分（公差という）もわからない。
　とにかく「必ずどこかにあるよ〜😃」と教えてくれるだけ。
　だから、Green-Tao の定理を使って具体的な魔方陣を作ることは叶いません。

　なんだかスッキリしない話ではありますね😞
　まぁ、「存在定理」と呼ばれる物には、こういったことが往々にしてあります。
　とは言っても、ちょびっとくらいはスッキリしたいので、一例を挙げましょうか。
　『Primes in Arithmetic Progression Records』というWebページによれば、今までに発見された素数等差数列の最長記録は長さ27のようです（2019. 9.23. 現在）。

　素数のみからなる、長さ27の等差数列。
　\(p_n=224584605939537911+18135696597948930(n-1)\)
　\((n=1, 2, \cdots, 27)\)

\begin{align} & 224584605939537911, \ 242720302537486841, \ 260855999135435771, \\ & 278991695733384701, \ 297127392331333631, \ 315263088929282561, \\ & 333398785527231491, \ 351534482125180421, \ 369670178723129351, \\ & 387805875321078281, \ 405941571919027211, \ 424077268516976141, \\ & 442212965114925071, \ 460348661712874001, \ 478484358310822931, \\ & 496620054908771861, \ 514755751506720791, \ 532891448104669721, \\ & 551027144702618651, \ 569162841300567581, \ 587298537898516511, \\ & 605434234496465441, \ 623569931094414371, \ 641705627692363301, \\ & 659841324290312231, \ 677977020888261161, \ 696112717486210091 \end{align}

　だから、この等差数列の中の連続した９つを拾えば素数魔方陣ができあがる。
　１つおきや２つおきで拾ってもＯＫですね。
　大きい方から９つ拾って作ってみましたよ😃

　自分で作っておいて何だが「これ魔方陣ですか？」と聞きたくなる😅
　もはやシリアルナンバーとかお客様番号とかにしか見えません😅
　迫力はあるよね😅

　あ、そうそう。
　前セクション２では「素数は１型・５型のみ」と言いましたっけ（引き続き \(2\) と \(3\) は無視します）。
　それを踏まえると、実は、素数等差数列には大きな特徴があります。

　等差数列をなす素数達は１型ばかり、または５型ばかり。
　１型・５型が混在することはない。
　ということは、等差数列を利用して作った魔方陣も型が揃うわけですね。
　実際、図3-1 はすべて１型素数だし、すぐ上のお客様番号みたいな魔方陣はすべて５型素数です。

　しかも、等差数列では数値が必ず規則的に並ぶから、素数魔方陣の作り方は前セクション２よりもさらに輪をかけて簡単です。
　既存の魔方陣を知っていさえすれば、数字を小さい順にホイホイ入れていくだけで良いんです。
　詳しくはこのページで説明しましょう。

　前セクションに続いて、ここでも素数の型が大きくはたらいていた！
　型は……結構有能なのかもしれません。

４．アイツ達は皮を剥いても凄かった

　最後は、かなり手の込んだ素数魔方陣を紹介しましょう。

図 4-1

　図4-1 です。
　サイズといい、中の数値といい、もぅ見た目だけで圧倒されそうな雰囲気😅

　実は、この魔方陣、見た目以上に驚くべき秘密を持っています。
　今は13×13サイズだけど、外周に触れているマス（黄色）を全部除去して11×11サイズにしてみましょう。
　すると、それも魔方陣になっているんです。

　しかも、それだけではない。
　11×11から外周のマスを取り除いて９×９サイズにしても、魔方陣になっている。
　さらに７×７にしても魔方陣。
　５×５にしても……。
　３×３にしても……。

　まるでマトリョーシカかタマネギか。
　一皮剥いても魔方陣。
　二皮剥いても魔方陣。

　皮を剥いてできた５つの魔方陣をこのページに示します。
　５回剥いても全部が魔方陣って、もぅ……どう驚いていいのかわからん😵

　こういうふうに、内部にミニ魔方陣が潜んでいるパターンもあるんですね。
　特に、図4-1 のようにミニ魔方陣たちが中心を共有していると、それはそれは美しいモンです🥰
　Webサイト『Wolfram MathWorld』では、この魔方陣を border square と呼んでいます。
　日本語だと 同心方陣 という呼び方があるようですね。

　当ページでは扱いませんが、中心を共有しないパターンもあります。
　『小さい魔方陣たちを包む魔方陣について』という論文では、単にミニ魔方陣を含む物を 親子方陣 と呼び、同心方陣とは用語を区別しています。
　ネット上では、親子方陣と同心方陣を同一の物として説明しているところもありますね。
　まぁ名称がまだ世間には定着していないのでしょう。説明はさまざまです。

図 4-2

　さて。
　同心方陣は皮を剥いても魔方陣でしたね。
　そういう性質を持っているため、皮の部分に大きな秘密があります。
　上下端・左右端・対角、向かい合う２マスにこんな法則がある。

  • ２マスの素数の和はすべて \(10874\) である。

　ちょいと確認してみましょう。
　上下端（青色）は……

  • \(8923+1951=10874\)
  • \(1093+9781=10874\)
  • \(9127+1747=10874\)
    （以下略）

　ホントに全部 \(10874\) だった！
　これは左右端（赤色）も同じ。対角（緑色・黄色）も同じ。和はすべて \(10874\) になっている。
　だから、皮を１枚剥くとどの列も合計値が \(10874\) だけ減って、小さな魔方陣になるわけです。

　ちなみに、\(10874\) は盤面中央の素数 \(5437\) の２倍です。
　これも重要な情報ですが、詳細は後ほど。

　そんなわけで、図4-2 の皮は「和が \(10874\) である素数のペアのみを並べて作られている」ことがわかった。
　全24組の素数ペア。
　しかし、真実はそれだけではなかった。
　さらに内側の皮もそれぞれ調べていくと、驚愕の事実を目の当たりにすることになる。

　図4-1 の魔方陣、\(5437\) を芯として全84組の素数ペアを六重にも巻き付けて作られた物であった！
　もぅもぅ「六重」という響きだけで手間の量が容易に想像できますね。
　作成前に84組以上のペアを準備しただろうし、一回り大きな魔方陣となるように正しくペアを配置する必要があっただろう。
　その様はジグソーパズルのような難解さだったかもしれない。
　まぁ数字 \(1\) から始まる同心方陣は普通に存在するから、その応用なんだろうなとは思います。
　それでも、こういう秀逸な魔方陣に発想が至るというのが凄いよなぁ。

　そういえば、セクション２３では「素数は１型・５型のみ」と言いましたっけ（ここでも \(2\) と \(3\) は無視します）。
　ここでもそれを考察してみましょう。
　実は、図4-1 の魔方陣はこ〜んなことが成り立っています。

　またしても！
　型を揃えなきゃいけない決まりがあるのかと言いたくなる😅
　ただ、これには理由があります。

　ペアの和は中央の２倍。
　同心方陣を作るには、これが絶対に必要なんです。
　証明はこのページに譲りましょう。

　\(10874\) は６で割ると２余る。
　だから、足して \(10874\) になる素数は２つとも１型でなきゃいけません（５型が混じると、６で割った余りが２にならない）。
　そして、中央の素数 \(5437\) は１型。
　結果、芯にも皮にもすべて１型素数が並び、同心方陣全域が１型素数で埋まる。
　こういうわけなんですね。
　ちなみに、中央に５型素数を置いたら、全域が５型素数で埋まります。
　いや〜、素数の型はここでも強くはたらいているんですなぁ。

　いやぁもぅ、ここまでくると、どの素数魔方陣にも型の統一が必須なのかと思ってしまう。
　もちろん、そんなことはありません。
　下図のように１型・５型が混在できるし、なんなら素数 \(3\) を使った物まであります。
　素数魔方陣の考察にあたって、必ずしも型にこだわる必要はないんですね。

　ただ、１型/５型 という視点を知ると、素数魔方陣の裏側がだいぶ透けて見えるようになる。
　得体の知れない素数魔方陣と対峙しても、型の視点を携えていざ懐に飛び込んでみたら意外に規則的で面喰らう。
　そういう不思議さに驚き困惑し、そして魅了される。

　まぁ、素数魔方陣に限らず、素数の世界そのものが不思議で魅力にあふれてます。
　『オイラーの素数生成式』や『ガウスの素数定理』などは素数界の大看板ですもんね。
　\(f(n)=n^2\mspace{-2mu}+\mspace{-2mu}n\mspace{-2mu}+\mspace{-2mu}41\) とか \(\pi(x)\fallingdotseq\cfrac{x}{\log x}\) とか、こんなにも簡素で美麗な式だけで素数の性質がパッと表されてしまう。不規則な中にも規則性が堂々と鎮座しているのが面白い。
　今回の執筆にあたって『Green-Tao の定理』を初めて知って、またひとつ私は素数に惹かれたり。
　数学好きな方々なら、私の何倍も素数の魅力をご存じのことでしょう。

　不規則なアイツは数学好きな人々を魅了しまくっているけれど、アイツは魔方陣の世界でも魅力をたっぷり振りまいていた。
　不規則なアイツは魔方陣でも凄かった。

参考・参照

更新履歴