１．どういう解法？
では、解法 Exocet を説明しましょう。
とは言っても、いきなり一般論を話しても理解しづらいので、まずは少し易しめな例を挙げて解説します。
1-1．Exocet の使える状況とは？
実は、解法 Exocet の使える状況はかなり複雑です。
だから、解法説明の前に、まずは盤面の状況説明から。
図1-1 を見てみましょう。
青色と赤色、全部で４マスありますね。
この４マスが解法 Exocet の主役となるマス達です。
ここで、この４マスの位置関係を説明しましょう。
- 青色＆赤色の４マスは、１つの横長 chute の中に存在する。
- 青色２マスは１つのブロック内部にヨコに並んでいる。
- 赤色マスは他の２ブロックに１個ずつ存在する。
- 赤色マスは青色マスと異なるヨコ列に存在する。
文字で書くとちょっと複雑だ😅
簡単に「青２つはヨコに並び、青・赤・赤はナナメに並ぶ」とビジュアル的に理解するのが手っ取り早いかな？
この４マスの候補数字には、次の特徴があります。
- 青色２マスは全体で３種類または４種類の候補数字を持つ。
- 青色２マスの候補数字はどれも赤色マス（片方/両方 は問わない）にも存在する。
青色マスの候補数字は１, ６, ７の全３種類。この３種類はどれも赤色マスにありますね。
図1-1 の青色＆赤色、名前が付いています。
青色マスを ベースマス と呼びます。
赤色マスを ターゲットマス と呼びます。
もぅ軽くネタバレしちゃいますが、解法 Exocet はベースマスを土台として、結論はターゲットマスの中に隠れています。
あ、chute という新しいワードが出てましたね。
chute とは、ブロック３個並んだ３×９マスの領域のことです。縦長または横長、２種類あります。
図1-1 の青色＆赤色の４マスは、すべて上端の横長 chute に収まっているわけですね。
主役紹介の後は、脇役も紹介しましょう。
図1-2、黄色で示した18マスです。
この黄色マスを Ｓマス と呼びます。
Ｓマスは６×３の形に整列していますね。
また、Ｓマス６個をまるごと内包するタテ列にも名前が付いています。
クロスライン と呼びます。
盤面には全部で３本のクロスラインが走っているわけですね。
ここで、Ｓマスやクロスラインの位置関係を説明しましょう。
- すべてのＳマスは、青色＆赤色４マスの属する横長 chute の外側に位置する。
- ２本のクロスラインはターゲットマスをそれぞれ１個ずつ含んでいる。
- 残り１本のクロスラインはベースマスを含んでいない。しかし、ベースマスと一緒に縦長 chute に同居している。
まぁ、これも 図1-2 でビジュアル的に理解しちゃってください😊
「青の真上や真下に黄色はない」というところだけ、注意が少し必要です。
主役と脇役の紹介が終わったところで、次はＳマスの持つ重要な性質を説明しましょう。
図1-3、ベースマスの候補数字に注目しましょう。
全部で３種類ありますね。１, ６, ７の３種類。
それらがＳマスのどこにあるかを探してみます。
すると…… 候補数字の位置関係に大きな特徴が見えてくるんです！
- 候補数字１, ６, ７はどれもヨコ方向に２列に整列している。
図1-3 では候補数字１, ６, ７に色を付けました。
その色分けで「２列に」の意味がわかるでしょうか。
同じ候補数字は２列に横たわっているんです。
同じ色の候補数字同士を結んだヨコ線、これにも名前が付いています。
これを カバーライン と呼びます。
図1-3 には、１６７７１６それぞれに対応する６本のカバーラインが横たわっているわけですね。
さぁ、これで必要な状況説明はすべて出揃いました。
次はこの状況からの結論を述べることにしましょう！
1-2．さて結論は……？
これだけの条件が揃った時、こういう結論が得られます。
- ベースマスにない候補数字をターゲットマスから除去できる。
つまり、青色マスにない候補数字を赤色マスから除去できる。
図1-4 だと、赤色マスの×印が該当します。
べースマスに候補数字は１, ６, ７しかないから、ターゲットマスから１, ６, ７以外を根こそぎ除去できる。
こういうわけです。
なぜこういう結論になるんでしょう？
それは、ベースマスに入った数字はターゲットマスにも入る運命にあるからです。
例えば、仮にベースマスに数字６, ７が１個ずつ入ったとしたら、必然的にターゲットマスにも数字６, ７が１個ずつ入ることになるんです（入り方は順不同）。
なぜそういう結論になるのか？
理由を解説していきましょう。
ベースマスには候補数字が３種類ありますが、まずは候補数字１に絞って考察してみます。
実は、次のことが証明できるんです。
- ベースマス（の片方）に数字１が入った時、ターゲットマス（片方/両方 は問わない）にも必ず数字１が入ることになる。
これを背理法で証明してみましょう。
数字１の入り得るマスは 図1-5 の通りです。
★マスで示しています。
数字１の入らないＳマスには×印を付けておきましょう。
カバーライン（点線）も２本描いておきます。
そして、ベースマスに数字１を入れるという前提で、こういう仮定をしてみます。
- 【仮定】どちらのターゲットマスにも数字１は入らない。
さぁ結果はどうなるか……？
ベースマスのどちらかに数字１を入れ、ターゲットマスは両方とも数字１を拒否する。
すると、３本のクロスライン上で論理展開が進みます。
まず、緑色タテ２列ではマスＡ, Ｂに数字１が確定しますね。
その後、カバーラインをたどって灰色のタテ列を見てみると……、
あれ？
数字１の入る場所がどこにもない！？
なんと、破綻が起きちゃいました😵
というわけで、「どちらのターゲットマスにも数字１は入らない」という仮定は間違いだとわかった。
少なくともターゲットマスの一方には数字１が入ることになるんです。
候補数字６, ７に対しても同様に証明できます。
だから、例えば青色マスに数字６が入った時、一方の赤色マスにも必ず数字６が入ることになる。数字７も同じ。
これを踏まえると、青色マスに入った２個の数字は赤色マスにも１個ずつ入ることになるわけですね。
ベースマスとターゲットマス、両者に入る数字の組み合わせは完全に同じだと判明しました。
したがって、ターゲットマスも１, ６, ７しか数字の入る可能性がなくなったわけですね。
というわけで、図1-4 の結論が得られましたね！
後はラクに解き進められるので、サックリ解き進めてハイ完成！
完成図は 図1-7 の通りです。
おぉ、たしかにベースマスに入った数字１, ７はターゲットマスにも１個ずつ入ったね😃
２．ちょいと一般化してみる
セクション１では、解法 Exocet を解説しました。
が、実はあれは完全な解説ではありません。まだ説明してないものがある……。
そこで、当セクションでは、Exocet をもう少し一般化させて詳しく解説します。
セクション１と説明がダブりますが、あらためて最初から説明していきます。
2-1．Exocet に出てくるマス達
まずは、解法 Exocet の主役となるマスをご紹介。
図2-1、青色＆赤色の４マスです。
４マスの位置関係は次の通り。
- 青色＆赤色の４マスは、１つの横長 chute の中に存在する。
- 青色２マスは１つのブロック内部にヨコに並んでいる。
- 赤色マスは他の２ブロックに１個ずつ存在する。
- 赤色マスは青色マスと異なるヨコ列に存在する。
青色マスを ベースマス と呼びます。
赤色マスを ターゲットマス と呼びます。
ちなみに、chute とは、ブロック３個を並べてできる３×９の領域のことです。
縦長と横長の２種類あります。
図2-1 の青色＆赤色の４マスは、すべて上端の横長 chute に収まっているわけですね。
ベースマスとターゲットマスの候補数字に関して、満たすべき条件があります。
- ベースマスは２マス全体で３種類または４種類の候補数字を持つ。
- ベースマスにある候補数字はどれもターゲットマス（片方/両方 は問わない）にも存在する。
「２マス全体で」なので、ベースマスの候補数字の分布は {1, 2, 3}＋{2, 3, 4} などでもＯＫです。
極端な話、{1, 2}＋{3, 4} もあり得ます。
ただ、実際は候補数字は多く、{1, 2, 3, 4}＋{1, 2, 3, 4} の形は普通にあります。
セクション１のような {1, 2, 3}＋{1, 2, 3} の形も存在します。
表記短縮化のため、以降は、ベースマスにある候補数字のことを ベース候補数字 と呼ぶことにしましょう。
次は、セクション１では説明しなかった「もうひとつの主役」をご紹介。
ターゲットマスとコンビになるマス達です。
図2-2、紫色の２マスです。
２マスの位置関係は次の通り。
- 青色, 赤色, 紫色の全６マスはすべて同じ横長 chute 内部に存在している。
- 紫色マスはターゲットマスと同じタテ列に位置し、これら４マスは矩形状に整列している。
- 紫色マスはベースマスとは異なるヨコ列に位置する。
この紫色２マスを コンパニオンマス と呼びます。
大抵の場合、コンパニオンマスにはヒント数字が既に入っています。
だから、解法 Exocet でナンプレを解く際にコンパニオンマスには意識が向かない。
コンパニオンマスはほとんど目立ちません。
主役級なのに、ちょい悲しい😞
コンパニオンマスに関して、満たすべき条件があります。
- コンパニオンマスはベース候補数字とは完全に無関係である。
つまり、もし空きマスなら、そのマスはベース候補数字を一切持たない。
もし数字で埋まっているなら、その数字はどのベース候補数字とも異なる。
セクション１の 図1-1 で言うと、ベース候補数字は１, ６, ７です。
それに対して、コンパニオンマスにはヒント数字３, ４が入っていますね。
ちゃんと上記の条件を満たしています。
主役達を紹介した後は、脇役をご紹介。
図2-3、黄色で示した６×３＝18マスです。
この黄色マスを Ｓマス と呼びます。
また、Ｓマス６個をまるごと内包するタテ列にも名前が付いています。
クロスライン と呼びます。
クロスラインの位置関係は次の通り。
- すべてのＳマスは、ベース＆ターゲット＆コンパニオンの６マスが属する横長 chute の外側に位置する。
- ２本のクロスラインはターゲットマス＆コンパニオンマスをそれぞれ１個ずつ含んでいる。
- 残り１本のクロスラインはベースマスを含んでいない。しかし、ベースマスと一緒に縦長 chute に同居している。
青色の真上や真下に黄色は位置しない。
そこがちょいとややこしい！
注意が必要です。
Ｓマスの候補数字にも、満たすべき条件があります。
- ６×３のＳマス領域の内部では、どのベース候補数字も２列に並んでいる。
この部分はちょいと難しい。
もう少し詳しく説明します。
セクション１の 図1-3 では、黄色領域内部のベース候補数字達はどれもヨコ方向に２列に並んでいましたね。
しかし、実は「ヨコ方向に」は必須ではありません。
タテ方向に並んでいてもいいんです。
とにかく、２列に並んでいさえすれば良い！
図2-4 はベース候補数字１〜４の分布を表した部分図です。
黄色領域内部では、候補数字３は十字型に整列していますね。
候補数字４はタテ２列に整列しています。
この形でもＯＫなんです。解法 Exocet は正しく機能してくれます。
ちなみに、１と２はヨコ２列に並んでいます。
図2-4 の緑色線のように、同じ候補数字を一列に結んだ線を カバーライン と呼びます。
黄色領域には全部で８本のカバーラインが存在しています。
今まで、２つのターゲットマスは異なるヨコ列にありました。
しかし、実はこれは必須ではありません。
同じヨコ列に存在してもＯＫなんです。
その場合、マスの配置は 図2-5 のようになります。
青色, 赤色, 紫色、全６マスの位置関係は 図2-2 で挙げたものと同じです。
もう一度述べておきましょう。
- 青色, 赤色, 紫色の全６マスはすべて同じ横長 chute 内部に存在している。
- 紫色マスはターゲットマスと同じタテ列に位置し、これら４マスは矩形状に整列している。
- 紫色マスはベースマスとは異なるヨコ列に位置する。
さぁ、これで必要な状況説明はすべて出揃いました。
次はこの状況からの結論を述べることにしましょう！
2-2．さて結論は……？
これだけのマス達が揃った時、こういう結論が得られます。
- ベースマスにない候補数字をターゲットマスから除去できる。
図2-6 だと、赤色マスの×印が該当します。
べースマスに候補数字は１〜４しかないから、ターゲットマスから候補数字５〜９を根こそぎ除去できる。
こういうわけです。
なぜこういう結論になるんでしょう？
それは、ベースマスに入った数字はターゲットマスにも入る運命にあるからです。
例えば、仮にベースマスに数字３, ４が１個ずつ入ったとしたら、必然的にターゲットマスにも数字３, ４が１個ずつ入ることになるんです（入り方は順不同）。
なぜそういう結論になるのか？
理由を解説していきましょう。
ベースマスには候補数字が４種類ありますが、まずは候補数字３に絞って考察してみましょう。
実は、次のことが証明できるんです。
- ベースマス（の片方）に数字３が入った時、ターゲットマス（片方/両方 は問わない）にも必ず数字３が入ることになる。
これを証明してみましょう。
数字３の入り得るマスは 図2-7 の通りです。
★マスで示しています。
数字３の入らないマスには×印を付けています。
カバーライン（点線）も２本描いておきましょう。
そして、ベースマスに数字３を入れた時にどうなるか？
論理を進めてみます。
ベースマス（の片方）に数字３を入れてみます。
すると、２本のクロスライン上で論理展開が進んでいきます。
左側の緑色タテ列ではマスＡに数字３が確定しますね。
その後、カバーラインを右にたどり、右側の緑色タテ列を見てみると……、
数字３の入る場所が赤色マスしかなかった！
というわけで、「ターゲットマスにも必ず数字３が入る」が証明されたわけですね。
なお、数字３がターゲットマスの 片方/両方 に入るかどうかは問わないので、もう１つのターゲットマスに数字３が入るか否かは考察しなくてＯＫです。
候補数字４についても証明してみましょう。
数字４の入り得るマスは 図2-9 の通り。★マスです。
カバーライン（点線）も描いておきましょう。
この場合は簡単です。
緑色タテ列を見たら、まぁ一目瞭然！
「ターゲットマスにも必ず数字４が入る」が証明されたわけですね。
なお、同様に、数字４がターゲットマスの 片方/両方 に入るかどうかは問わないので、もう１つのターゲットマスについては何も証明する必要はありません。
候補数字１, ２はセクション１と同じ方法で証明できます。
結局、「ベースマスに入った数字は必ずターゲットマスにも入る」ということがわかったわけですね。
それを踏まえると、ベースマスに入った２個の数字はターゲットマスにも１個ずつ入ることがわかります。
ベースマスとターゲットマス、両者に入る数字の組み合わせは完全に同じだと判明しました。
したがって、ターゲットマスも１〜４しか数字の入る可能性がなくなったわけです。
図2-6 の結論が成り立ちました。
そんなわけで、主役６マスを脇役達がしっかり支えて、見事に結論が導かれました。
次セクションでは、この 主役/脇役 の関係も併せてさらに一般化してみます。
３．もっと一般化しちゃおう！
解法 Exocet は、「ベースマス＆ターゲットマス、両者に入る数字の組み合わせは完全に同じ」という結論を得るための解法です。
そして、その手助けとなったのがＳマスであり、クロスラインであり、２本のカバーラインだったわけですね。
今までの解説では、主役扱いしていたマス達がありました。
スタート地点のベースマス、ゴール地点のターゲットマス、そして密かに暗躍していたコンパニオンマス。
この全６マスです。
それ以外は脇役扱いをしました。
実は…… これにはちょいとワケがありまして。
そのワケを話す前に、主役６人を一般化させた話をしましょう。
今までは２つのターゲットマスは異なるヨコ列に存在していましたが、図2-5 で補足した通り、同じヨコ列に存在してもかまいません。
そのため、ターゲットマスとコンパニオンマスをまとめる形で一般化できるんです。
図3-1、２マスずつ３組に分けました。
青色２マスは毎度おなじみ ベースマス です。
そして、緑色の４マスもありますね。
その４マスの状況は次の通りです。
- 緑色マスは、タテに並んだ２マスがペアとなって存在する。
- ペアをなしている２マスのうち、一方はターゲットマスであり、他方はコンパニオンマスである。
この緑色マスを オブジェクトマス と呼びます。
そして、タテに並んだ緑色２マスをまとめて オブジェクトマスペア と呼んだりします。
ここで、解法 Exocet の根本的な話をしましょう。
実は……、
「Exocet」は解法の名前ではないんです。
「いや何言ってんのｗ」とかツッコまれそう😅
まぁまぁまぁ、これから説明していきます。
実は、「Exocet」は解法の総称です。
図3-1 の形をした６マスから論理展開をスタートさせ、次の結論に導く。
- ベースマスに入った数字は必ずターゲットマスにも入る。
この方式をとった解法全般を Exocet と呼ぶんです。
もちろん、図3-1 のようなスッカスカな盤面では、この結論に行けるわけがありません。
主役６マスだけではストーリーはまったく進まない。
そこで、適切な脇役をあてがってやる。
そうすることで論理が進み、結論に達するわけです。
主役はもちろん大事だが、ストーリーが盛り上がるのは脇役達があってこそ。
この「あてがった脇役達」に応じて、解法 Exocet の具体名が付いています。
例えば、セクション１では「Ｓマス」「クロスライン」「カバーライン」という脇役達がストーリーを盛り上げてくれました。
この解法には Junior Exocet（略称：JExocet, JE）という具体名が付いています。
他には、主役６マスの亜種に対しても研究がなされたりした。
そういった諸々の作業の中で Junior Exocet Plus や QExocet などの具体名が生まれていきました。
このことに関しては、ナンプレのフォーラムサイト『The New Sudoku Players' Forum』でも多くの議論が交わされたようですね。
『Exotic patterns a resume』というスレッドでは、Exocet 系解法などの定義をまとめていて議論の跡が覗き見られます。
Junior Exocet については、『JExocet Pattern Definition』というスレッドにまとめられています。
そのスレッド内のレス記事の一部では、図2-5 の形についても述べられています（Collinear JE の項）。
参考・参照
- The New Sudoku Players' Forum, 『Exotic patterns a resume』,
http://forum.enjoysudoku.com/exotic-patterns-a-resume-t30508.html - The New Sudoku Players' Forum, 『JExocet Pattern Definition』,
http://forum.enjoysudoku.com/jexocet-pattern-definition-t31133.html
更新履歴
- 2023. 3.24.
- 新規公開。
- 2023. 3.31.
- ページ冒頭に難易度表記を追加。