【解法】Fireworks

　Fireworks はタテ１列とヨコ１列を対象とする解法です。
　その２列の交差地点を含む３マスがキーとなって論理展開が進んでいきます。
　2021年11月に公開された新しい解法です。
　（難易度：★★★★★）

　（2022.10.10. 追記）
　公開当初は当ページの解法名を『Firework』と単数形にしていましたが、複数形『Fireworks』に改称しました。
　その理由は、英単語「firework」は通例は複数形であること、そして、核となるロジック（firework と呼ぶ）を必ず複数重ねて使う解法だからです。

１．まずは核となるロジックから

　Fireworks は、タテ１列とヨコ１列が舞台。
　そして、その２列の交差箇所を含む３マスが中心となって話が繰り広げられます。
　単体ではちょっと役に立ちにくいけれど、何枚も重なれば大きな力を発揮する。
　そんな不思議な解法です。

　解法 Fireworks には核となるロジックが存在します。
　まずは、それを紹介しましょう。
　Fireworks の世界はそこから始まります。

図 1-1

　図1-1、青色ヨコ列とピンク色タテ列を見てみましょう。
　どちらもずいぶんと数字で埋まってますね。
　そのあおりを受けて、数字９の入り得る場所は少なくなっちゃいました。

　詳しい状況は次の通りです。

  • 青色ヨコ列において、数字９は★マスの４カ所にしか入らない。
  • ピンク色タテ列も同様で、数字９は★マスの４カ所にしか入らない。
  • ２列の交差点Ａの属するブロックを見ると、★マスはタテヨコ３個ずつ並んでいる。ブロックの外側にはＢ, Ｃの１個ずつしか存在しない。

　これら★マスのうち、重要なのは３つです。
　タテヨコ２列の交差地点であるマスＡ、そして、左上ブロックの外側にある２マスＢ, Ｃ。
　この３マスに対して、とある結論が得られるんです。

図 1-2

　その結論とは……

  • ３マスＡ, Ｂ, Ｃのうち最低１カ所に必ず数字９が入る。

　検証してみましょう。
　とりあえず★マスは７つあって、そのどこかに必ず数字９は入ります。
　７通りを調べてみましょう。

　まず、Ａ, Ｂ, Ｃのどこか１カ所に入った場合は、上記の結論は明らかですね。
　では、他のマスはどうか。
　例えば、青色★マスのどちらかに数字９が入った場合。
　この場合は、ピンク色タテ列ではマスＣにしか９を入れられなくなりますね。
　また、ピンク色★マスのどちらかに入った場合はどうか。
　この場合は青色ヨコ列を見るとマスＢに９が決まっちゃう。

　結局、どの場合であろうとも、３マスＡ, Ｂ, Ｃのどこかには必ず数字９が入ってしまうわけなんです。

　図1-2 で示した結論、これが解法 Fireworks の核となるロジックです。
　これを firework と呼ぶことにしましょう。
　このロジックを駆使して話は進んでいきます。

　……が、実は残念なお話がありまして。
　図1-2 の結論を得たところで、盤面には何の影響もないんです。
　どこかのマスに数字９が確定するわけではないし、数字９の入らないマスが生じるわけでもない。
　状況はまったく進まない。
　単に「どこかに数字９が現れますよ〜😃」と言っているに過ぎないんです🥺

　だから、解法 Fireworks はもう一歩進んだアプローチをとっていく。
　「もし、firework が盤面に複数存在していたら……？」
　これを軸に話を進めていくんです。
　それをちょびっとお見せしましょう。

図 1-3

　前図1-2 をもう一度（図1-3）。
　あらためてこの図を見てみると、こんなことが言えるんです。

数字９だけじゃなくて、数字８でも同じロジックが成り立つよね！

　実は、この盤面には２つの firework が存在していたんですね。
　数字９と数字８。
　２枚重ねだった！

　となると、数字８も９もマスＡ, Ｂ, Ｃのどこかに必ず入るわけですね。
　もちろん数字２個を同時にマスＡに押し込むわけにはいかないから、８と９の少なくとも１つはマスＢやＣに入れざるを得なくなる。

　こういう感じで話が進んでいくわけです。

　２枚重ねでもちょっとピンとこないかもしれませんね😅
　しかし、これが３枚重ねになると firework たちは大きな力を発揮するようになる！
　それはセクション２で説明しましょう。

ブロック内部の★は少なくてもＯＫ
図 1-4

　図1-1 では★マスが７個揃っていましたが、実は、７個より少なくてもかまいません。
　図1-4 では２個少なくなっていますが、これでもＯＫです。

　さらに言うと、３マスＡ, Ｂ, Ｃの一部が★マスでなくてもＯＫです。
　それでも firework のロジックが崩れることはありません。
　結論も同じです。

  • ３マスＡ, Ｂ, Ｃのうち最低１カ所に必ず数字９が入る。

　ただし、Ａ, Ｂ, Ｃすべてが★マスでない場合は、左上ブロックで破綻が起きちゃいます。
　だから、その３つのうち最低１カ所は★マスでなければいけません。
　そこはご注意ください😊

２．こんな手筋があるよ！・その１　(Firework Triple)

　ここからは、複数の firework を使った手筋を解説していきます。
　まずは firework を３枚重ねした手筋です。
　これは、ナンプレのフォーラムサイト『The New Sudoku Players' Forum』の Fireworks というトピックで実際に紹介された物です。
　その盤面を拝借して解説していきましょう。

図 2-1

　図2-1 を見てみましょう。
　ここでは、候補数字１, ２, ３の分布に注目します。

  • 青色＆ピンク色２列において、候補数字１, ２, ３の分布は 図2-1 の通り。
  • 数字１〜３の firework がピッタリ３枚重ねになっている。

　数字１〜３はどれも firework の条件を満たしていますね。
　そして、「ピッタリ３枚重ね」というのがこの盤面の大きな特徴です。
　この３枚が大きな仕事をしてくれます。

　ここからどう話が進んでいくんでしょう？

図 2-2

　では、結論です。
　こうなります。

  • ３マスＡ, Ｂ, Ｃから候補数字４〜９をすべて除去できる。

　図2-2 の通りです。
　なんと、３枚の firework に関係する３マスがずいぶんとスリムになっちゃいました。

　なぜこうなるんでしょう？
　それは、３マスＡ〜Ｃに数字１〜３が１個ずつ割り当てられることになるからです。
　それを解説しましょう。

図 2-3

　まずは、セクション１で示した結論に照らし合わせてみましょう。
　すると、こうなります。

  • 数字１, ２, ３はどれも必ずマスＡ, Ｂ, Ｃのどこかに入る。

　これは簡単にわかりますね。
　ただ、これだけでは話が進展しそうに思えません。

　しかし！
　数字は３個であり、マスも３個です。
　個数は同じ。
　そこに気が付くと、ゴールが見えてくるかもしれません。

図 2-4

　マスは３カ所しかない。
　なのに、数字１, ２, ３を必ず全部入れなきゃいけない。
　ということは……？
　もぅ次のように数字を入れるしかないんです。

  • ３マスＡ, Ｂ, Ｃに数字１〜３を１個ずつ割り当てるしかない。

　３マスに数字３個が個別に割り当てられる。
　言い換えると、数字３個が３マスを占拠する形になるんです。
　おぉ、まるで３国同盟のようだ！

　というわけで、３マスＡ, Ｂ, Ｃに数字４〜９の入る余地は完全になくなっちゃいました。
　候補数字４〜９はすべてシャットアウト！
　図2-2 の結論通りですね😊

　いや〜、うまくできてるもんです。
　数字１個だけだと３マスのどこに入るかわからんけれど、数字３個にしたら嫌でも３マスは満杯になっちゃう。
　「３枚重ね」とは面白い手法だなぁと感じました😃

３．こんな手筋があるよ！・その２　(Firework Quadruple)

　次は、少し複雑なパターンです。
　４枚使ったパターンを紹介しましょう。
　このパターンも先述のトピック Fireworks で紹介されていますが、元は別トピック Cobra Roll の題材となっていた図です。
　この図を拝借して解説していきます。

図 3-1

　図3-1 には青色２列と黄色２列がありますね。
　両方とも firework です。
　しかも、どちらも２枚重ね。全部で４枚あるわけですね。

　状況は次の通りです。

  • 青色２列で firework ができている。しかも、数字１, ２の２枚重ねになっている。
  • 黄色２列も firework。数字３, ４の２枚重ね。
  • ２種類の firework はマスＰ, Ｑを共有している。

　１つの firework には要所が３マスありますが、それらを firework 達が共有し合っています。
　全体として４つの firework が４つの要所Ａ, Ｂ, Ｐ, Ｑを持っている。
　そういう形になっているんですね。

　この形からはどういう結論へと向かうんでしょう？

図 3-2

　では、結論です。

  1. マスＡから１, ２以外の候補数字をすべて除去できる。
  2. マスＢから３, ４以外の候補数字をすべて除去できる。
  3. マスＰ, Ｑから１〜４以外の候補数字をすべて除去できる。

　なんと、firework に無関係な候補数字が要所のマスから綺麗サッパリ消えてしまう！
　図3-2 の通りになるんです。

　なぜこうなるんでしょう？
　それは、要所の４マスＡ, Ｂ, Ｐ, Ｑに数字１〜４が１個ずつ割り当てられる形になるからです。
　それを解説しましょう。

図 3-3

　まずは、セクション１の結論に照らし合わせてみます。
　こうなります。

  • 数字１, ２はどちらもマスＡ, Ｐ, Ｑのどこかには入る。
  • 数字３, ４はどちらもマスＢ, Ｐ, Ｑのどこかには入る。

　この２つが成り立ったおかげで、数字１〜４の分布について何かつかめそうな気がする！
　ちょいと試しに要所４マスに数字を仮入れしてみましょうか。

　まず青色 firework に数字１, ２を入れてみる。
　例えば、Ａ＝１＆Ｐ＝２ としましょう。
　その上で、今度は黄色 firework に数字３, ４を入れ……

あっ、もぅマスＰに数字が入ってたわ。
じゃぁ、ＢとＱに入れるしかないや。

　なんと、要所４マスは数字１〜４で全部埋まってしまいました。

図 3-4

　実は、どういう入れ方をしても結果は同じです。
　要所４マスは必ず数字１〜４で埋め尽くされてしまうんです。

　よく考えると、たった４カ所に数字１〜４を必ず全部入れなきゃいけない状況だと言えますよね。
　もぅその４マスは……こうするしかないというわけです。

  • ４マスＡ, Ｂ, Ｐ, Ｑに数字１〜４を１個ずつ割り当てる。

　要所４マスに数字５〜９の入る余地は完全になくなりました。
　候補数字５〜９は全部バッサリ斬っちゃいましょう！

　また、マスＡは青色 firework のマスだから、数字１と２のどちらかが入ります。
　マスＡの候補数字３, ４もバッサリです。
　同様に、マスＢでは候補数字１, ２もバッサリ。

　最終的に 図3-4 の通りになりました。
　図3-2 の結論通りですね😊

　当ページでは３枚重ね・４枚重ねの手法を紹介しました。
　この他にも Fireworks にはさまざまな手筋があります。
　詳しくは『The New Sudoku Players' Forum』のトピック Fireworks をご覧ください。

４．「爆発」だなんて、なんて物騒な！

　ここからは余談です。

　この解法は 2021年11月にフォーラムサイト『The New Sudoku Players' Forum』の Fireworks というトピックで公開されました。
　おそらく最新の解法です。
　その解法には『Fireworks』と名前が付いたわけですが、なぜこの名前なんでしょう？
　その由来をたどってみたいと思います。

図 4-1

　由来を話す前に盤面が２つ必要なので、まずはそれをご紹介。

　まずは 図4-1 を見てみましょう。
　青色・ピンク色の２列において数字９の入り得るマスを探してみます。
　すると、特徴的な形が現れました。

　詳しい状況はこんな感じ。

  • 青色ヨコ列において、数字９は★マスの３カ所にしか入らない。
  • ピンク色タテ列も同様で、数字９は★マスの３カ所にしか入らない。
  • ２列の交差点Ａの属するブロックを見ると、★マスはすべてその中にある。

　この形からは、マスＡに１つの結論が生まれます。

図 4-2

　その結論とは……？

  • 交差地点のマスＡに数字９が確定する。

　理由は簡単です。
　青色ヨコ列では、★マス３個のどこかに必ず数字９が入ります。
　３個とも同じブロックの中にあるから、ピンク色★マスには９を入れられなくなる。
　それを踏まえてピンク色タテ列を見ると、マスＡに９が確定する。
　こういうわけですね。

　数字９はマスＡの中に収まりました。

図 4-3

　次に 図4-3 を見てみましょう。
　図4-1 とほとんど同じだけれど、右下隅の数字９がなくなりました。
　だから★マスがちょっとだけ増えた。

  • 青色・ピンク色列において、数字９の入り得る場所（★マス）はそれぞれ４カ所ある。
  • これら★マスのうち、左上ブロックの外側にあるのはＢ, Ｃだけ。

　実は、これはセクション１の 図1-1 と同じ形です。
　だから、この場合の結論はこうでした。

  • ３マスＡ, Ｂ, Ｃのうち最低１カ所に必ず数字９が入る。

　マスＡのみにとどまらず、ＢやＣに９の入る可能性が生まれたのでした。

　最初の盤面では、数字９はマスＡの中に収まった。
　ところが、次の盤面では数字９はマスＡの外に飛び出せるようになったわけですね。
　そう。飛び出せるようになった。

　解法 Fireworks は Fireworks というトピックから生まれました。
　そのトピックの中に、ちょっと驚くような言葉が入ってた。
　explode。
　マスＡからの飛び出しを投稿者さんは「explode」というワードで表現してたんです。
　そして、そこから 図4-3 の形を firework と呼んでいた。

at the moment im just calling this pattern a firework, it "explodes" outward from the intersection, in a way😄
（ im はおそらく I'm です）

　交差地点から外へ爆発するだなんて、なんとまぁ物騒な😅
　花火のように「ドォーンッ！」と華々しく飛び出す。投稿者さんはそんなイメージを持ってたのかもしれません。

　「explode」という大げさな表現、インパクトあっていいですね。
　なんか「firework」というワードを聞いた後だと、タテヨコ２列が火花のようにも見えてきた。
　左上ブロックが花火玉のようにも見えてきた。
　言葉や先入観に引きずられやすい私です😅

参考・参照

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