【解法】3国同盟 / n国同盟

 「3国同盟」と呼ばれる解法は、上級解法の定番です。
 ただ、2国同盟より少し難しいので、とりあえず Hidden Triple の方をマスターしましょう!
 各マスの候補数字を調べ上げる関係上、マスにメモ書きが必要で Naked Triple の方は結構面倒くさいんです。余力があれば覚えよう、くらいでOKです。
 また、一般化した「n国同盟」についても解説しています。

1.レーザー発射からの3国同盟 (Hidden Triple)

図 1-1

 3国同盟にはパターンが2つあります。
 まず、1つめのパターンを解説しましょう。

 図1-1 では、★マスに数字が判明します。
 その数字を突き止めるために、まずは黄色ヨコ列に注目しましょう。

 実は、この黄色ヨコ列にはとある状況が生まれています。
 それは次の状況です。

  • ある3つの数字は、ともに同じ3マスに入る。

 具体的なことは 図1-2 で説明しましょう。

図 1-2

 黄色ヨコ列に向かって、数字1, 3, 8からレーザーを発射してみましょう。

 すると、黄色ヨコ列の中では1, 3, 8はどれも▲マスにしか入らないということがわかります。
 これが 前図1-1 で述べた状況なんです。

  • 3つの数字1, 3, 8は、ともに同じ3マス(3個の▲)に入る。

 今のところ、どのマスにどの数字が入るのかはわかりません。
 しかし、数字3個に対してマスがちょうど3個。
 実はこれがミソでして。
 「まず左端の▲に1を入れて、次の▲には3を……」などと試しに数字の入れ方をいろいろ検討してみると、どうやら1つの結論が出てきそう……。

図 1-3

 その結論とは、こうなんです。

  • ▲の3マスは数字1, 3, 8で占拠されてしまうことになる。つまり、その3マスに他の数字を入れられなくなる。

 なんと、数字1, 3, 8が同盟を組んで▲マスを全部占拠しよった!
 他の数字の侵入を完全にシャットアウトしてしまったんです。
 これが 3国同盟 という解法です。

 占拠したという意味で、138, 13, 138 と順にメモしておくことにしましょう。
 この3マスには1, 3, 8以外は入りません。

図 1-4

 ▲の3マスに数字1, 3, 8以外は入らないことを踏まえて、次は数字2から下方向へレーザーを発射します。
 すると……おぉ、ここでメモ書きがすごく効いてきましたね!
 黄色ブロックでは数字2が判明してしまいました。
 3国同盟の面目躍如😊

 元々、図1-2 の▲マスに入り得る数字は1, 3, 8以外にもありました。
 ところが、3国同盟によって1, 3, 8の3個に制限されてしまった。
 他の数字はみんな消えざるを得なくなった。

 ▲マスに候補がどんなにたくさんあろうとも、それをたった3個に減らしてしまう。
 この3国同盟の強制力。
 すっごい力です。

3国の場合は、占拠する数字が少なくてもOK!
図 1-5

 3国同盟の場合、占拠する数字が少し欠けていてもかまいません。
 図1-3 では8の入らないマスが1つありますが、それでもOKです。
 「1, 3, 8以外の数字が入らなくなった」という事実が重要なのであって、3マスすべてに1, 3, 8が出揃っている必要はないんです。

 もし仮に3マスとも占拠数字が欠けていなかったとしたら、3つの数字の入れ方は全部で6通りあります(3×2×1=6通り)。
 図1-3 の場合は6通りより少ないというだけで、「1, 3, 8以外の数字は入らない」という事実は一切変わりません。

2.候補を調べてからの3国同盟 (Naked Triple)

図 2-1

 3国同盟にはもうひとつのパターンがあります。
 それを紹介しましょう。

 実は、図2-1 の黄色ブロックにはとある状況が生まれています。
 それは次の状況です。

  • ある3マスには、ともに同じ3つの数字しか入れられない。

 具体的なことは 図2-2 で説明しましょう。

図 2-2

 図2-2、3つの▲マスに入り得る数字はそれぞれ何でしょう?
 灰色マスの数字を見ながら、それぞれ調べてみましょう。

 実は、どの▲も2, 4, 9の3つしか入れられないことがわかります。
 これが 前図2-1 で述べた状況です。

  • 3マス(▲)には、ともに同じ3つの数字2, 4, 9しか入れられない。

 今のところ、どの▲にどの数字が入るのかはわかりません。
 しかし、数字3個に対してマスがちょうど3個。
 「まず上端の▲に2を入れて、左端の▲には4を……」などと試しに数字の入れ方をいろいろ検討してみると、どうやら1つの結論が出てきそう……。

図 2-3

 その結論とは……?

  • 数字2, 4, 9は必ず▲の3マスに入ることになる。よって、他の黄色マスには2も4も9も入れられなくなる。

 なんと、2, 4, 9が同盟を組んで▲マスを全部占拠しよった!
 ……と言うよりも、2, 4, 9専用の VIPルームが既に3部屋用意されていて、その部屋に3名様をそれぞれお通しするって感じです。

 ここでも、同様に「249」とでもメモしておくことにしましょう。
 占拠という意味も一応ありますが、ここでは「他の黄色マスには2も4も9も入れられないよ〜!」と捉えましょう。
 3名様は素敵な VIPルームに入り浸りです😊

 「249」以外の黄色3マスに×印を付けておきましょう。
 ×印マスには2も4も9も入りません。

図 2-4

 ×印も付けたことだし、今度は緑色タテ列に注目しましょう。
 さて、この緑色タテ列では数字4はどこに入るでしょう?

 さっき書いた×印がすごく効いてますよね!
 数字4の入るマスはたった1つしかないのです。
 というわけで、数字4の場所が判明しちゃいました。
 3国同盟様々ですね😊

 元々、左上ブロックには数字2, 4, 9の入る場所は他にもありました。
 ところが、3国同盟によって2も4も9も専用部屋に押し込められてしまった。
 ×印マスに入れなくなっちゃったんですね。

 場所がどんなにたくさんあろうとも、それをたった3マスに減らしてしまう。
 この3国同盟の強制力。
 前セクションだけでなく、こんなすごい力も持っているんです。

3国の場合は、占拠する数字が少なくてもOK!
図 2-5

 図1-5 でも述べましたが、このセクションでも同様のことが言えます。
 3国同盟の場合、占拠する数字が少し欠けていてもかまいません。
 図2-3 では3マスとも「249」でしたが、「24」「49」など一部の数字が欠けていてもOKです。
 「2, 4, 9以外の数字は絶対に入らない」という事実が重要なのであって、3マスすべてに2, 4, 9が出揃っている必要はないんです。

 3マスとも占拠数字が欠けていなかったとしたら、3つの数字の入れ方は全部で6通りあります(3×2×1=6通り)。
 図2-3 の場合は1つも欠けていないから、2, 4, 9の入れ方はそのまま6通りあります。

 セクションではレーザーを発射して「1, 3, 8の3国同盟」が成立しました。
 それに対して、セクションでは当該マスに入り得る数字を調べて「2, 4, 9の3国同盟」が成立しました。
 レーザーを発射してから見つかる3国同盟。
 候補数字を調べてから見つかる3国同盟。
 2国同盟と同様、3国同盟にも2種類のタイプがあるんですね。
 次セクションでは、もう少し詳しく解説することにしましょう。

3.Hidden と Naked の違い

 このセクションでは余談をひとつ。
 セクションで2タイプの3国同盟を解説しました。
 ただ、違いが少しわかりにくかったかもしれません。
 このセクションでは、候補数字の視点で両者の違いを探ってみようと思います。

 海外のサイトでは、両者ともに名前が付いています。
 セクションの方は Hidden Triple、セクションの方は Naked Triple です。
 Hidden/Naked、両者について2国同盟をちょいと解説してみます。

 以下の図には、マスの中に薄く小さい数字が並んでいます。
 これはそのマスに入り得る数字を表しています。
 これを 候補数字 と呼ぶことにしましょう。

図 3-1

 まずは Hidden Triple。

 セクションでは黄色ヨコ列に1, 3, 8の3国同盟ができることを説明しましたが、各マスの候補数字を表示してみます(図3-1)。
 さて、黄色ヨコ列の中で候補数字1, 3, 8はどこにあるでしょう?

 該当の場所は 図3-1 の通りです。
 三者とも特定の3マスにしか存在していないんですね。
 しかも、その3マスには他の候補数字もあるから、なんだかお仲間に紛れて仲良くひっそり隠れとる!

  • 候補数字a, b, cは特定の3マスにしか存在していない。
  • a, b, cは他の候補数字に紛れて存在している。

 これが Hidden Triple の特徴です。
 hidden には「隠れた」という意味がありますが、まさに「隠れたトリオ」なんですね。

図 3-2

 次は Naked Triple。

 セクションでは黄色ブロックに2, 4, 9の3国同盟ができることを説明しましたが、各マスの候補数字を表示してみます(図3-2)。
 さて、この黄色ブロックの中で候補数字2, 4, 9はどこに……って、完全に丸見えやんけ!

 なんたる堂々っぷり。
 前図3-1 とは違って、隠れる素振りがありません。
 あ、他のマスにはちょびちょび隠れちゃってますが😓

  • 候補数字a, b, cは特定の3マスに丸見えで存在している。
  • a, b, cはその3マス以外に存在していることもある。

 これが Naked Triple の特徴です。
 naked には「裸の」という意味がありますが、「丸見えの」という意味もあります。
 まさに「丸見えのトリオ」なんですね〜!

4.n国同盟

 2国同盟のページでは Hidden PairNaked Pair と呼ばれる2種類のタイプを紹介しました。
 どちらも2種類の候補数字に2個のマスが対応し、2種類の候補数字が2マスを占拠するという形になりました。
 「2種類」と「2個」、数は同じです。

 また、上記で解説したように、3国同盟では Hidden TripleNaked Triple と呼ばれる2種類のタイプを紹介しました。
 どちらも3種類の候補数字に3個のマスが対応し、3種類の候補数字が3マスを占拠するという形になりました。
 「3種類」と「3個」、数は同じです。

 実は、4国以上でもまったく同様のことが言えるんです。
 n種類の候補数字にn個のマスが対応し、n種類の候補数字がn個のマスを占拠するという形ができることがある。
 一般に、これを n国同盟 と言います。

図 4-1

 具体例として、4国同盟をひとつ。
 図4-1 の青色ヨコ列を見てみると、候補数字2, 4, 6, 9の4国同盟ができています。
 「4種類の候補数字が4マスを占拠する」という形ができあがっているんですね。
 これは Naked タイプの4国同盟で、Naked Quadruple という名前が付いています。

 ちなみに、4国以上の同盟でも 図2-5 の補足は成り立ちます。
 つまり、占拠数字が少なくてもOKです。
 「この4マスに2, 4, 6, 9以外の数字は入らない」ということが重要であり、4マスすべてに2, 4, 6, 9が出揃っている必要はありません。

 実際、図4-1 は占拠数字が少なめですが、これも立派な4国同盟です。

 ここで、n国同盟についてちょっとした話を。
 4国以上の同盟にも「Hidden ○○」「Naked ○○」という名前が付いています。
 こんな感じ。

 他には、Hidden タイプをひっくるめて Hidden Subsets と言い、Naked タイプの方は Naked Subsets と言ったりします。
 さらに、それら全体を総称して Locked Sets(または Locked Subsets)と言ったりします。
 いや〜名前多すぎ!

 同盟の種類が多すぎて、覚えるのが大変ですね😞
 でも、実は、n国同盟の解法を直接使う場合は5国以上を考慮する必要がありません。
 4国以下だけで十分なんです。
 それは何故か?

 それは、ある列やブロックに同盟ができている場合、残りのマスでも別の同盟が必ずできるからなんです。
 列もブロックも9マスしかありません。5国以上の同盟が存在すれば、その裏側で4国以下の同盟も必ずできている。
 もちろん、国数の少ない同盟を考える方がラク!
 だから、4国以下で十分なんです。
 詳細は次セクションで説明しましょう。

5.Hidden と Naked は裏表の関係

 セクションに続いて余談をもうひとつ。
 今までのセクションでは Hidden と Naked の2種類を紹介しましたが、両者の関係について話してみようと思います。

図 5-1

 図3-1 では3国同盟、図4-1 では4国同盟を紹介しました。
 この2つの図を見て何か気が付きましたか?

 そうです!
 実は、両者とも盤面はまったく同じなんです。
 しかも、それだけではありません。
 2つの同盟でヨコ1列を網羅している!(図5-1)
 かたや Hidden 3国、残りは Naked 4国。
 ちょうど Hidden と Naked の同盟が仲良くヨコ列を分け合っているんですね。

 同盟には Hidden と Naked の2種類ありますが、実は、片方だけ盤面に存在するということはありません。
 一方が存在すれば、残りの場所で他方も存在するんです。

 なんだか不思議ですね。
 なぜ両タイプの同盟が同時に存在するんだろう?
 図5-1 の盤面を例に説明していきましょう。
 説明にあたって、図5-1 の同盟2つを含むヨコ列を「ヨコ列X」と呼ぶことにします。

図 5-2

 キーとなるのは、赤色で示した6個の数字の存在です(図5-2)。
 これらの数字はヨコ列Xにn国同盟を発生させます。
 以下、これらをまとめて「キー数字」と呼ぶことにしましょう。

 ヨコ列Xに対してキー数字が作用する時、具体的には次の2つが同時に起こります。

  1. キーと同じ数字がまったく入らないマスが生じる。
  2. キーと同じ数字は一部のマスにしか入らなくなる。

 この2つが起こることで、ヨコ列Xの空きマス7個は「a. に該当するマス」「b. に該当するマス」の2種類にキッチリ分かれるんです。

 ヨコ列Xにおいて、a. に該当するのは青色4マスです。
 この4マスには1, 3, 8(キーと同じ数字)がまったく入りません。
 そして、この4マスで4国同盟(Naked)ができています。

 また、b. に該当するのは黄色3マスです。
 1, 3, 8(キーと同じ数字)はこの3マスにしか入れられません。
 そして、この3マスで3国同盟(Hidden)ができています。

 キー数字の作用によって、ヨコ列Xは Hidden と Naked の同盟に二分されていたというわけなんですね。
 ちなみに、Hidden の同盟は必ずキーと同じ数字で構成されます。

図 5-3

 ついでに、セクションの3国同盟についてもキー数字を示してみましょう。
 図5-3 の通りです。
 赤色で示した3, 7, 8がキー数字です。

 この6個のキー数字が作用して、次の a. b. が同時に起こります。
 そして、左上ブロックが2種類の同盟に二分されました。

  1. キーと同じ数字がまったく入らないマスが生じる。
  2. キーと同じ数字は一部のマスにしか入らなくなる。

 a. に該当するのは青色3マスです。
 この3マスには3, 7, 8(キーと同じ数字)がまったく入りません。
 そして、Naked 3国同盟のできあがり!

 また、b. に該当するのは黄色3マスです。
 3, 7, 8(キーと同じ数字)はこの3マスにしか入れられません。
 そして、Hidden 3国同盟のできあがり!

 これは一般の場合でも成り立ちます。
 列内部(またはブロック内部)にn国同盟が見つかった場合、それを発生させたキー数字が存在しています。そして、そのキー数字は上記 a. b. をその列全体(またはブロック全体)に起こしています。
 そして、a. に該当するマスで Naked の同盟ができ、b. に該当するマスで Hidden の同盟ができているというわけです。

 だから、ある列やブロックを見て Hidden の同盟を見つけた時、残りのマスを拾うと Naked の同盟が見つかるんです。
 もちろん逆もしかり。Naked が見つかれば、必ず Hidden も見つかります。

 ナンプレの列やブロックは9マスしかありません。
 だから、一方が5国以上の同盟だった場合、残りのマスでは4国以下の同盟が必ずできています。
 ということは、わざわざ前者の方を考える必要はなく、後者の方を考えれば国数が少なくて済む。
 セクションの末尾で述べた通り、n国同盟の解法を直接使う場合は5国以上を考慮する必要はないんです。

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