【解法】Multi-Colors

 Multi-Colors は Simple Colors からさらに複雑になった解法です。
 Simple Colors と同様に色分けをして解き進めていきますが、Simple Colors の2色1組に対し Multi-Colors では2組以上の色を使います。
 各ペアが連携することで、候補数字の入り方のパターンを探っていきます。

1.双対とクラスター

 Multi-Colors の舞台、それは「複数のクラスター」です。
 解法 Simple Colors ではクラスターは1つだったけど、今度はクラスターがたくさん。
 もっと不思議な世界です。
 このセクションでは、双対とクラスターを解説していきます。

 あ、もちろん、某ウィルスの「クラスター」とは一切関係ありません。
 一応、念のため。

図 1-1

 ある列やブロックにおいて、数字nの入り得るマスが2つしかないとします。この時、その2マスは 数字nについて双対そうついである と言うことにしましょう。あるいは、単に 双対である と言うことにします。
 例えば、図1-1 において候補数字1に注目すると、2マスA, Bは双対です。B, Cも双対ですね。C, DもB, Eも双対です。

 ここでは、双対である2マスに色付けをします。
 その際、次のルールに従って2色を割り当てていきます。

  1. 双対である2マスには異なる色を割り当てる。
  2. ある1マスが複数のマスと同時に双対である場合、相手のマスすべてに同じ色を割り当てる。

 候補数字1に対して a. b. を適用してできたのが 図1-1 です。
 a. の例としては、双対な2マスA, Bには異なる色が割り当てられています。双対な2マスB, Cも色が異なります。他も同様です。
 b. の例としては、マスBと双対な3マスA, C, Eにはどれも同じ色が割り当てられています。マスCと双対な2マスB, Dも同じ色が割り当てられています。

図 1-2

 なぜ、こういうルールで2色を割り当てるんでしょう?
 それは、双対である場合、次の2つが必ず同時に成り立つからです。

  • 一方のマスに数字1が入る。
  • 他方のマスに数字1は入らない。

 この「2つが必ず同時に成り立つ」というのがミソで、2色を割り当てることで 一方/他方 を可視化させるというわけです。

 さて、双対である2マス同士を線で結んでみると、図1-2 のようにひとつながりの図形ができあがります。
 これを クラスター と呼びます。
 図1-2 では、数字1について緑色&薄緑色・全11個のマスからなるクラスターができました。

 ちなみに、クラスターには「房」「群れ」といった意味があります。
 海外のサイトでも cluster という用語を使ったりしています。

図 1-3

 さて、前図1-2 のクラスター、何のために作ったのか?
 こういう結論を得るためです。

  • どちらか一方の色付きマス全部に数字1が入る。

 具体的に言うと、次のどちらかが必ず成り立つということです。

  • 緑色マス全部に数字1が入る。
  • 薄緑色マス全部に数字1が入る。

 なぜ「全部」なのかというと、緑色マスと薄緑色マスは双対の関係にあるからです。
 クラスター上のとある1マスに数字1が入るか否かが判明した時、双対の関係によって他のすべてのマスも数字1が入るか否かが次々と波及していきます。
 そして、ものの見事に色分けした通りに「1が入る/1が入らない」に二分されるという結果になるんです。

数字1が入るのは緑色? それとも薄緑色?

 この2択に帰着できる。
 これが色付けの最大の意味なんです。

 Simple Colors では1個のクラスターを使って解き進めます。
 それに対して、Multi-Colors では2個以上のクラスターを使って解き進めます。最少でも4色現れます。
 例を2つ挙げて解説していきましょう。

2.こんな手筋があるよ!・その1

図 2-1

 図2-1 の盤面、ここから Multi-Colors で解き進めていきます。
 まずは、クラスターを作っていきましょう!

 候補数字4のクラスターを作ります。
 クラスターは2つできます。
 緑色&薄緑色のクラスター、青色&水色のクラスターで表すことにしましょう。

図 2-2

 クラスターを作った結果が 図2-2 です。
 緑色系のクラスターと青色系のクラスター、2つできました。
 それぞれのクラスターで双対の関係を確認してみてください。

 さて、図2-2 には大きな特徴が1つあります。
 それは、「水色マスAと薄緑色マスBが同じタテ列に属している」ということです。
 異なるクラスターの2マスA, Bが同じ列に属しているんですね。

 この場合、果たしてどんなことが成り立つんでしょう?

図 2-3

 こういう結論になるんです。

  • 緑色マス・青色マスの両方と列やブロックを共有しているマスがある。そのマスに数字4は入らない。

 図2-3 だと赤色マスが該当します。
 例えば、タテに2つ並んだ赤色マスは緑色マスとブロックを共有し、青色マスとタテ列を共有しています。
 他の2マスも両方の色と列を共有しています。
 この4マスに数字4を入れられなくなるんです。

 なぜ、こういう結論になるんでしょう?
 それは、緑色と青色の少なくとも一方に数字4が入ることになるからです。
 それを説明しましょう。

図 2-4

 まず、クラスターについて、前セクションで述べた結論を忘れてはいけません。
 つまり、次の2つが両方とも成り立つんです。

  • 緑色マス全部または薄緑色マス全部に数字4が入る。
  • 青色マス全部または水色マス全部に数字4が入る。

 2マスA, Bは同じタテ列に属していて、両方に数字4を入れるということはできません。
 つまり、A, Bの少なくとも一方に数字4は入らない。
 Aに4が入らない場合は水色マス全部に4は入らない。青色マス全部に4を入れるしかない。
 Bに4が入らない場合は薄緑色マス全部に4は入らない。緑色マス全部に4を入れるしかない。
 結局、緑色と青色の少なくとも一方に4が入ることになるんです。

図 2-5

 そうなると、緑色&青色両方と列やブロックを共有しているマスに影響が出るようになります。
 例えば、マスXです。

 マスXの右には緑色マスがあり、真下には青色マスがありますね。
 その2マスのうち少なくとも一方には数字4が入るのだから、マスXには4を入れることはできない。
 こういうことになるんです。

 他のマスも同様です。
 結局、赤色4マスの候補数字4がすべて除去されるんですね。
 図2-3 の結論通りになりましたね😊

3.こんな手筋があるよ!・その2

 もうひとつ違った解き方を解説しましょう。
 クラスターが2つあると、こういう解き方もできるんです。

図 3-1

 図3-1 の盤面、ここから Multi-Colors で解き進めていきます。
 まずは、クラスターを作っていきましょう!

 今度は候補数字8のクラスターです。
 2つできます。
 緑色&薄緑色、青色&水色のクラスターで表すことにします。

図 3-2

 クラスターを作った結果が 図3-2 です。
 緑色系のクラスターと青色系のクラスター、2つできました。
 それぞれのクラスターで双対の関係を確認してみてください。

 さて、図3-2 には大きな特徴が1つあります。
 それは、緑色マスが次の2つを満たしているということです。

  • 緑色マスAは青色マスXと同じヨコ列に属している。
  • 緑色マスBは水色マスYと同じブロックに属している。

 この場合、果たしてどんなことが成り立つのか……?

図 3-3

 結論はこうなります。

  • 緑色マス全部に数字8は入らない。

 図3-3 だと、A, Bを含む緑色3マスが該当します。
 その3マスに数字8を入れられなくなるんです。

 なぜでしょう?
 青色系のクラスターでは、青色マス全部または水色マス全部に必ず数字8が入るからです。
 つまり、マスX, Yのどちらかに必ず数字8が入るんですね。
 ということは、マスA, Bの片方には8を入れられません。

 よく見ると、マスAもBも緑色。
 そして、クラスターにおいて同じ色のマスは一蓮托生。「8が入る/入らない」を共にする。
 よって、緑色マス全部に数字8は入らないことになるんです。

 上記の結論通りになりましたね😊
 もちろん、薄緑色のマス全部に数字8が入ることもわかります。

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