１．双対とクラスター
Simple Colors の舞台、それは「クラスター」です。
１種類の候補数字ｎが「双対」でつながっている世界。
その世界は二大勢力に分かれていて、そのどちらに数字ｎが入るのかが一番の関心事。
なんだか不思議な世界です。
このセクションでは、双対とクラスターを解説していきます。
ある列やブロックにおいて、数字ｎの入り得るマスが２つしかないとします。この時、その２マスは 数字ｎについて双対である と言うことにしましょう。あるいは、単に 双対である と言うことにします。
例えば、図1-1 において候補数字１に注目すると、２マスＡ, Ｂは双対です。Ｂ, Ｃも双対ですね。Ｃ, ＤもＢ, Ｅも双対です。
ここでは、双対である２マスに色付けをします。
その際、次のルールに従って２色を割り当てていきます。
- 双対である２マスには異なる色を割り当てる。
- ある１マスが複数のマスと同時に双対である場合、相手のマスすべてに同じ色を割り当てる。
候補数字１に対して a. b. を適用してできたのが 図1-1 です。
a. の例としては、双対な２マスＡ, Ｂには異なる色が割り当てられています。双対な２マスＢ, Ｃも色が異なります。他も同様です。
b. の例としては、マスＢと双対な３マスＡ, Ｃ, Ｅにはどれも同じ色が割り当てられています。マスＣと双対な２マスＢ, Ｄも同じ色が割り当てられています。
なぜ、こういうルールで２色を割り当てるんでしょう？
それは、双対である場合、次の２つが必ず同時に成り立つからです。
- 一方のマスに数字１が入る。
- 他方のマスに数字１は入らない。
この「２つが必ず同時に成り立つ」というのがミソで、２色を割り当てることで 一方/他方 を可視化させるというわけです。
さて、双対である２マス同士を線で結んでみると、図1-2 のようにひとつながりの図形ができあがります。
これを クラスター と呼びます。
図1-2 では、数字１について緑色＆薄緑色・全11個のマスからなるクラスターができました。
ちなみに、クラスターには「房」「群れ」といった意味があります。
海外のサイトでも cluster という用語を使ったりしています。
さて、前図1-2 のクラスター、何のために作ったのか？
こういう結論を得るためです。
- どちらか一方の色付きマス全部に数字１が入る。
具体的に言うと、次のどちらかが必ず成り立つということです。
- 緑色マス全部に数字１が入る。
- 薄緑色マス全部に数字１が入る。
なぜ「全部」なのかというと、緑色マスと薄緑色マスは双対の関係にあるからです。
クラスター上のとある１マスに数字１が入るか否かが判明した時、双対の関係によって他のすべてのマスも数字１が入るか否かが次々と波及していきます。
そして、ものの見事に色分けした通りに「１が入る/１が入らない」に二分されるという結果になるんです。
数字１が入るのは緑色？ それとも薄緑色？
この２択に帰着できる。
これが色付けの最大の意味なんです。
Simple Colors では、１個のクラスターを使って解き進めます。
例を２つ挙げて解説していきましょう。
２．こんな手筋があるよ！・その１ (Color Trap)
まずは１つめの手筋です。
Color Trap という名前が付いています。
例として、前セクションの盤面をそのまま流用しちゃいます。
手抜きとか言わないで😅
図1-3 からは、こういう結論が得られます。
- 緑色マス・薄緑色マスの両方と列やブロックを共有しているマスがある場合、そのマスに数字１は入らない。
図2-1 だと、赤色のマスが該当します。
この５マスに数字１を入れられなくなるんです。
なぜ、こういう結論になるんでしょう？
それを解説しましょう。
前セクションで述べた結論が効いてくるんです。
次のどちらかが必ず成り立つんでしたね。
- 緑色マス全部に数字１が入る。
- 薄緑色マス全部に数字１が入る。
となると、両方の色と列やブロックを共有しているマスに影響が出るんです。
例えば、左端のマスＸ。
真上には緑色マスがあり、右には薄緑色マスがありますね。
その２マスの片方に必ず数字１が入るわけだから、マスＸには１を入れられない。
こういうわけなんです。
他のマスも同様です。
結局、赤色５マスの候補数字１がすべて除去されるんですね。
前図2-2 の後も解き進められるので、ちょいと解説。
図2-2 では、５マスに数字１を入れられなくなりました。
それを踏まえてピンク色のタテ列に注目すると、なんと、数字１の入れられるマスはＡしかない！
というわけで、マスＡに１が確定しました。
しかし、それだけでは終わらない！
マスＡはクラスターの薄緑色マスでしたよね。
ということは、薄緑色のマス全部に数字１が確定してしまうのです。
まさに一蓮托生ですね。
数字１の入る運命を共にする。
これが Simple Colors の大きな威力なんです。
３．こんな手筋があるよ！・その２ (Color Wrap)
２つめの手筋です。こういう解き方もあるんです。
Color Wrap という名前が付いています。
このセクションでは、青色と水色でクラスターを色分けします。
ここでは、前セクションとは違う盤面で説明しましょう。
今度は青色＆水色の２色を使ってクラスターを作っていきます。
候補数字９に注目すると、クラスターは 図3-1 の通りになりました。
青色＆水色・全12個のマスからなるクラスターです。
では、このクラスターから何が言えるんでしょう？
こういう結論になるんです。
- ある列やブロックが同じ色のマスを２個以上含んでいる場合、その色のマスすべてに数字９は入らない。
図3-2 だと、水色のマスが該当します。
黄色ブロックを見てみると、その中に水色マスが２つありますね。
そのため、すべての水色マスに数字９を入れられなくなるんです。
なぜ、こういう結論になるんでしょう？
それは簡単です。
水色マス全部に数字９を入れちゃうと……ご想像通りの結末に😵
破綻しちゃいますもんね。
水色マスに数字９を入れてはダメ。
となれば、残った青色の方に数字９が入る。
こういうことになりました😊
こういうふうに、不合理の視点で解き進められることもあるんですね。