【解法】SK Loop

　まずはシチュエーションから説明しましょう。
　SK Loop の対象となるマスを紹介します。

• 矩形状に並んだ４つのブロック（黄色）がある。
• 数字の確定している４マス（緑色）が黄色ブロックそれぞれに存在し、さらに、その４マスは矩形状に並んでいる。
• SK Loop の対象となるのは、黄色ブロック内部にあり、緑色マスと同じタテ列・ヨコ列に属するマス。

　ざっくり言うと、SK Loop に必要なのは緑色近辺のマスです。
　候補数字を丸数字で示した16マス。
　見た感じ、２マスずつ隣り合わせに並んでますよね。
　ペアは８組。

　その８組を枠でくくって、時計回りにＡ〜Ｈとしておきましょう。
　実は、この８枠内部の候補数字には大きな秘密が隠れています。
　それは一体何か？
　左上ブロックから時計回りに候補数字を見てみると……、

• 候補数字５７は枠Ａ, Ｂにしかない。
• 候補数字１６は枠Ｂ, Ｃにしかない。
• 候補数字４８は枠Ｃ, Ｄにしかない。
• 候補数字３９は枠Ｄ, Ｅにしかない。
• 候補数字５７は枠Ｅ, Ｆにしかない。
• 候補数字２９は枠Ｆ, Ｇにしかない。
• 候補数字４８は枠Ｇ, Ｈにしかない。
• 候補数字２６は枠Ｈ, Ａにしかない。

　こういう特徴があるんですね。
　８つも書いちゃったけど、一言で言うとこういうことです。

どの候補数字も、ただ１個の列またはただ１個のブロックにしか存在しない。

　例えば、１も６もヨコ１列にしか存在していません。
　他も同様です。

　さて、この状態からどういう結論が得られるんでしょう？
　こうなります。

• ２枠を共有する列やブロックにおいて、枠外のマスから該当の候補数字をすべて除去できる。

　結論成立後の盤面が 図1-3 です。
　あっちこっちで候補数字が除去されとる😓

　結論がわかりにくいので、具体例を２つ。
　２枠Ｂ, Ｃともに候補数字１, ６がありますね。
　実は、青色ヨコ列において、数字１と６の入る可能性は２枠Ｂ, Ｃに限定されてしまうのです。枠外のマスから候補数字１, ６をすべて除去できます（青色×印）。
　左下ブロックにおいて、数字４と８の入る可能性は枠Ｇ, Ｈに限定されることになる。枠外のマスから候補数字４, ８をすべて除去できます（薄紫色×印）。

　なぜこういう結論になるんだろう？
　それは、前図1-2 の候補数字達は枠Ａ〜Ｈのどこかに必ず１個ずつ入ることになるからです。
　それを解説しましょう。

　枠内16マスに数字を入れることを考えてみましょう。
　とりあえず、次のことは成り立ちます。

• 全16種類のどの数字も、枠Ａ〜Ｈには１個までしか入れることができない。

　例えば、候補数字５は左上ブロックにしかありません。
　ということは、枠Ａ, Ｂ内のどこかに数字５を入れることは可能だけど、２個以上は入れられない。
　数字５は最大１カ所にしか入れられません。

　また、候補数字１はヨコ１列にしかありません。
　枠Ｂ, Ｃ内のどこか１マスに数字１を入れることは可能だけど、最大１カ所にしか入れられません。

　他も同様で、最大１カ所です。
　というわけで、全16種類のどの数字も１個までなら入れることが可能です。
　「１個まで」です。

　「１個まで」ということは、一応「０個」の可能性も残っているわけですよね。
　はて、「０個」って……あり得るんだろうか？

　実は、０個はあり得ません。
　なぜなら、破綻を引き起こすから。
　例えば、候補数字５が全滅したと仮定しましょう。
　すると、残り15種類の候補数字を使って16マスを埋め尽くさないといけなくなります。
　しかし、それは不可能なんです。

　どの候補数字も１個までしか採用できない。
　どんなに頑張っても、15種類の数字では最大15マスまでしか埋められない。
　図1-5 のように、16個目のマスに入れる数字が無い！

　というわけで、どの数字も０個はあり得ません。
　で、こうなるんです。

• 全16種類の数字は、８枠16マスにそれぞれ１個ずつ入る。

　16種類の数字が８枠Ａ〜Ｈに１個ずつ入る。
　言い換えると、これが成り立つことになるんです。

• 全16種類の数字は、必ず８枠16マスのどこかに入る。

　これが判明したのはすっごく大きい！
　このおかげで、数字の入れられないマスが発生するんです。

　例えば、候補数字５は枠Ａ, Ｂ内部にありますね。
　数字５はこの４マス（実質は２マス）のどこかに必ず入るのです。
　ということは、左上ブロックにおいて、枠Ａ, Ｂ外部のマスに数字５は入れられなくなりました。
　候補数字７も理屈は同じです（灰色×印）。

　候補数字１６は枠Ｂ, Ｃ内部にありますね。
　同様にして、青色ヨコ列では候補数字１, ６が除去されます（青色×印）。
　他の色の候補数字も同様、除去が生じます（黒色×印）。

　除去された候補数字は…… 全部で13個！
　凄まじい！

　前セクションと同じ８枠Ａ〜Ｈで説明しましょう。
　この８枠内部における候補数字の分布は 図2-1 の通りです。
　ここでは文字ａ〜ｒで表すことにしましょう。
　どのマスも候補数字は４つしかありません。
　★マスには既に数字が確定しているものとします。

　実際はａ〜ｒは候補数字１〜９のどれかを表すわけですが、どの文字がどの数字なのかを考える必要はありません。
　具体的な数字が何であれ、以下の論理展開にはまったく影響ありません。
　ただし、同色の２種は必ず数字が異なります。
　そこだけは注意しておきましょう。

　さて、この候補数字たちの分布を説明しましょう。
　こういう形になっています。

• 候補数字ａｂは枠Ａ, Ｂにしかない。
• 候補数字ｃｄは枠Ｂ, Ｃにしかない。
• 候補数字ｅｆは枠Ｃ, Ｄにしかない。
• 候補数字ｇｈは枠Ｄ, Ｅにしかない。
• 候補数字ｊｋは枠Ｅ, Ｆにしかない。
• 候補数字ｍｎは枠Ｆ, Ｇにしかない。
• 候補数字ｏｐは枠Ｇ, Ｈにしかない。
• 候補数字ｑｒは枠Ｈ, Ａにしかない。

　上記の説明をまとめると、候補数字の分布に関して大きな特徴が１つあります。
　その特徴とは……、

どの候補数字も、ただ１個の列またはただ１個のブロックにしか存在しない。

　枠内16マスに数字ａ〜ｒを入れることを考えてみます。
　とりあえず、こういうことが言えます。

• どの数字ａ〜ｒも、枠Ａ〜Ｈには１個までしか入れられない。

　例えば、候補数字ａは左上ブロックにしか存在しません。
　だから、枠Ａ, Ｂ内のどこか１マスに数字ａを入れることは可能だけど、１カ所に入れたらもぅ終わり。
　数字ａは最大１カ所にしか入れられません。

　候補数字ｃも同様ですね。ヨコ１列にしか存在しない。
　枠Ｂ, Ｃ内のどこか１マスに数字ｃを入れることは可能だけど、１カ所に入れたらもぅ終わり。
　数字ｃは最大１カ所にしか入れられません。

　他の候補数字も同様ですね。
　どの数字も１個までなら入れることが可能です。
　「１個まで」です。

　「１個まで」ということは、「０個」の可能性も一応あるわけですね。
　では、実際には０個はあり得るんだろうか？

　実は、あり得ません。
　破綻してしまうからです。
　例えば、候補数字ａが全滅したと仮定しましょう。
　すると、残り15種類の候補数字を使って16マスを埋め尽くさないといけなくなります。

　しかし、どの候補数字も最大１マスまでしか採用できないのだから、これは不可能なんですね。
　15種類すべて採用されたとしても、最後の１マスを埋めることがどうしてもできない😵

　というわけで、どの数字も０個はあり得ない。
　よって、こうなるわけです。

• 全16種類の数字は、８枠16マスにそれぞれ１個ずつ入る。

　各数字の入る場所は決まらないけれど、「１個ずつ入る」は確定するんです。

　候補数字ａ〜ｒは８枠Ａ〜Ｈに１個ずつ入る。
　これを言い換えると、こうなります。

• 数字ａ〜ｒは、必ず８枠16マスのどこかに入る。

　このおかげで、候補数字が大量除去されていく。
　図2-5 の通りです。
　例えば、数字ａ, ｂは２枠Ａ, Ｂのどこかに必ず入るから、灰色４マスから候補数字ａ, ｂを除去できます。
　数字ｑ, ｒは２枠Ａ, Ｈのどこかに必ず入るから、黄色３マスから候補数字ｑ, ｒを除去できます。

　なんと、理論上は 56個もの大量除去が可能！
　そう考えると、SK Loop とはどれほど強烈な解法か。
　まぁ、56個とまではいかずとも、この８枠16マスがｎ国同盟さながらの挙動を見せるのは面白いですよね。
　まさに16国同盟だ！
　こんな巨大な同盟、一生に一度拝めるかどうか。

　図4-1、これが Easter Monster です。
　これは、フォーラムサイト『The New Sudoku Players' Forum』の How regular is to generate sudoku with difficulty 9+ SE? というトピックのレス記事で紹介されたものです。
　海外のナンプレ解説サイトをいくつか見てみると、Easter Monster を解く試みの中で解法 SK Loop は発見されたとの説明がありました。

　この Easter Monster、実は驚異の難易度を誇ります。
　おそらく、この盤面からは一歩も進めないでしょう。
　世に出回っているナンプレソフトで軽く確かめてみたけれど、ホントに１マスも埋まらん😅

　ｎ国同盟や Fish 系はおろか、リンクや ALS などの高難度な解法でさえ１マス埋めることが叶わない。
　超マニアックな解法でやっとマスが埋まるかもしれません。
　まさに "Monster" なナンプレなんです。

　ここで出番となるのが SK Loop なんですね。
　使用する８枠16マスは 図4-2 の通り。
　枠は３マスを囲っていますが、ヒント数字は無視しちゃってください。
　２マス１組の枠です。

　候補数字の内訳は……、

• 候補数字２, ７ は枠Ａ, Ｂにしかない。（灰色）
• 候補数字４, ８ は枠Ｂ, Ｃにしかない。（黄色）
• 候補数字１, ６ は枠Ｃ, Ｄにしかない。（紫色）
• 候補数字４, ５ は枠Ｄ, Ｅにしかない。（緑色）
• 候補数字２, ７ は枠Ｅ, Ｆにしかない。（水色）
• 候補数字３, ９ は枠Ｆ, Ｇにしかない。（赤色）
• 候補数字１, ６ は枠Ｇ, Ｈにしかない。（オレンジ色）
• 候補数字３, ８ は枠Ｈ, Ａにしかない。（青色）

　マスは16個、候補数字は全16種類。
　これはもぅ、SK Loop 先生にお願いしなきゃ！
　先生は13個も候補数字を消し去ってくれます😊

• 盤面から13個の候補数字を除去できる（図4-2 ×印）。

　リンク、そして、グルッと一周する。
　これを聞いて Nice Loop を思い浮かべた方々はもぅ十分ナンプレマニアです😃
　たしかに、その解法に目を付けたのは鋭いんです。
　実際、「枠Ａに３と８は入らない」という仮定の下で反時計回りに論理展開すると、次の手順で矛盾なく一周できます。

1. 枠Ａから３と８が除去される。
2. 枠Ａには２と７が入る。
3. 枠Ｂから２と７が除去され、４と８の２国同盟が発生する。
4. 枠Ｃから４と８が除去され、１と６が入る。
5. 枠Ｄから１と６が除去され、４と５の２国同盟が発生する。
6. 枠Ｅから４と５が除去され、２と７が入る。
7. 枠Ｆから２と７が除去され、３と９の２国同盟が発生する。
8. 枠Ｇから３と９が除去され、１と６が入る。
9. 枠Ｈから１と６が除去され、３と８の２国同盟が発生する。
10. 1. に戻る。

　そして、枠Ａに入らなかった数字３, ８は必ず枠Ｈに入るから、３と８の入り得る場所は枠Ａ, Ｈに限定され……と青色×印が付く。
　上記の手順は循環できるから、どの枠から始めても反時計回りに論理展開できる。これにより、黒色の×印も付く。

　まずは、《a. 枠Ａには３も８も入らない》場合。
　これは 前図4-3 がそのまま検証結果になりますね。

　次に、《b. 枠Ａに３と８の両方が入る》場合。
　これは、時計回りに論理展開するとＯＫです。

1. 枠Ａに３と８が入る。
2. ２国同盟により枠Ｈから３, ８が除去される。
3. 枠Ｈに１と６が入り、枠Ｇから１, ６が除去される。
4. 枠Ｇに３と９の２国同盟が発生、枠Ｆから３, ９が除去される。
5. 枠Ｆに２と７が入り、枠Ｅから２, ７が除去される。
6. 枠Ｅに４と５の２国同盟が発生、枠Ｄから４, ５が除去される。
7. 枠Ｄに１と６が入り、枠Ｃから１, ６が除去される。
8. 枠Ｃに４と８の２国同盟が発生、枠Ｂから４, ８が除去される。
9. 枠Ｂに２と７が入り、枠Ａから２, ７が除去される。
10. 1. に戻る。

　結果は 図4-4 の通りです。

　手順は循環するため、「数字３も８も枠Ｈに入らなかった時、両者とも必ず枠Ａに入る」と言えます。
　この場合も青色×印が付くんですね。
　黒色×印も同様です。

　それを踏まえて、c. の場合を考えましょう。
　c. は「枠Ａに異なる色の数字を入れる」ことと同じです。
　さて、この場合、他の枠に同色の数字を入れることは可能でしょうか？

　答えは「不可能」です。
　なぜなら、ある枠に同色の数字が入ってしまうと、枠Ａも同色でなきゃいけなくなっちゃう！
　矛盾が起きてしまうのです😵

　よって、すべての枠には異なる色の数字が入ります。
　色の配分は 図4-5 のようなイメージになる。

　ここで、ちょいと枠ＡとＨを見てみましょう。
　すると……枠は違えど２個の青色数字が入っちゃってるんですね。
　結局、c. の場合も数字３, ８の入り得る場所は枠Ａ, Ｈに限定されることになる。
　a. b. と同様の候補数字除去が起こるんです（青色×印）。

　他の２枠を見れば、同様にして黒色×印も付きます。
　これも、a. b. と同様の候補数字除去ですね。