EPSILON ★ DELTA
管理人：Ｅ坂もるむ
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過去とーく・2009年４月 2009年４月のできごとをつらつらと書いてます。 数少ないですが……。 |
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そういや、ＱＭＡ６の数学問題にこんな感じのがありましたっけ。 「ＱＵＩＺ」の４文字から順序を問わずに３文字を選ぶ組み合わせは何通り？
んで、この問題には分岐があって、「ＭＡＧＩＣ」の５文字から順序を問わずに３文字を選ぶ組み合わせは何通り？ という問題もあります。 もちろん、これも数学好きには朝メシ前。 ところが、これにはもうひとつの分岐がある。 「ＡＣＡＤＥＭＹ」の７文字から順序を問わずに３文字を選ぶ組み合わせは何通り？ ＱＭＡ友のプレイ中にこの問題を見たとき、Ｅ坂さんの思考がバタッと止まってしまった。 もちろん、７文字に増えたから計算できなかったとかいうわけじゃぁありません。 あることに気づいて思考が止まっちゃったんです。 高校数学の順列・組み合わせ問題では、選ぶ対象にダブリがあるか否かで難易度がだいぶ変わってきます。 上記の「ＱＵＩＺ」や「ＭＡＧＩＣ」には文字のダブリが一切ないから、答えを求めるときは 4Ｃ3 や 5Ｃ3 を計算するだけでいい。 ところが、「ＡＣＡＤＥＭＹ」だと「Ａ」がダブっちゃってるんですね。この事実が問題の難易度を押し上げる。 もちろん、単に 7Ｃ3 を計算するだけではダメ。工夫が必要なんです。 でも、どう工夫すればいいんだろ？ 7Ｃ3 を計算してからダブってる分を差し引くとか、２個のＡを１個にまとめたらうまくいくかなとか。 受験生の頃を思い出していろいろ考えてみたけど、どぅもエレガントにいかない。 しまいにゃぁ、「もしかして“重複組み合わせ”（*1）とかを使うのか!?」などと考える始末。 結局、なすすべもなく 20秒が無情に過ぎていく。 うおお！ なんか悔しいぞ！！ 数学好きのＥ坂さんにとって、こういう類の問題を解けないままにしておくのはどぅにもこぅにも気持ちがスッキリしない。 だもんで、ゲーセン備えつけの紙とエンピツで計算してしまいました。 結局、Ｅ坂さんのアタマではエレガントな解法が見つからず。 チョイとメンドウな方法だけど、【１】Ａを２個とも選んだ場合・【２】Ａを１個だけ選んだ場合・【３】Ａを１個も選ばなかった場合 の３通りに場合分けして、それぞれを求めて合計しました。 一応解けたけど、どぅもまだ気持ちがスッキリしない。 問題文が簡単なだけに、もっとうまい方法がありそうな気がするんだけどなぁ。 うまい方法があったら教えてくだされ〜〜〜！ （*1）重複組み合わせ 異なるｎ個の物から重複を許してｒ個を選ぶ方法のことを“重複組み合わせ”と呼びます。 「重複を許して」というのは「同じ物を何回選んでもいいよ♪」という意味です。 たとえば、「ＱＵＩＺの４文字から重複を許して３個選ぶ」という場合、Ｑ・Ｑ・Ｚという選び方もできるというわけです。もちろん、Ｑ・Ｑ・Ｑみたいに同じ物ばっかりでもＯＫ！ 組み合わせが何通りあるかは nＣr で表しますが、重複組み合わせの場合は nＨr で表します。 ちなみに、この Ｃ と Ｈ については、等式 nＨr＝n+r-1Ｃr が成り立つことがわかっています。 なので、上記の重複組み合わせが何通りあるかを知りたいときは 4Ｈ3＝4+3-1Ｃ3＝6Ｃ3 として計算すればいいわけですね。 この重複組み合わせ、Ｅ坂さんの高校時代の教科書には申し訳程度で載ってました。 大学受験には必要なくて覚える気はなかったもんで、今の今まで まさに「名前だけ知ってる」という状態で過ごしてた。 あらためて調べてみて理解した次第です。なんと 18年越しの理解！ |
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