【解法】Aligned Pair Exclusion

 Aligned Pair Exclusion は、列とブロックの交差部分に属する2マスに注目した解法です。
 その2マスに入り得る数字の組み合わせを列挙し、周りのマスに応じてその組み合わせが減っていくのが特徴です。
 組み合わせをすべて挙げる必要があるので、手間がかかります。

1.どういう解法?

図 1-1

 図1-1、緑色の2マスA, Bに注目しましょう。
 そして、A, B両方の属する列とブロックも見てみます。
 黄色部分で、マスは13個ありますね。
 その中に、次の2つを満たすマスがチラホラあります。

  • 候補数字を2個しか持っていない。
  • その2個の内訳は、A, B両者の中から1個ずつ抽出したものである。

 こんな感じの状況だったとしましょう。

図 1-2

 さて、図1-1 からはどういう結論が得られるんでしょう?
 こうなります。

  • 黄色マスの候補数字に応じて、2マスA, Bから候補数字を適宜除去できる。

 前図1-1 の場合だと、マスA, B両方に候補数字の除去が起こります。
 図1-2 の通りですね。
 マスAから候補数字6を除去できます。
 マスBから候補数字7を除去できます。

 なぜ、こういう結論になるんでしょう?
 以下で説明しましょう。

図 1-3

 2マスA, Bの候補数字はそれぞれ2個と3個です。
 ということは、単純に考えれば、この2マスに入る数字の組み合わせは2×3=6通りあるわけですね。
 その6通りをちょいと列挙してみましょう。

  • 1と2。
  • 1と6。
  • 1と7。
  • 6と2。
  • 6と6。
  • 6と7。

 あ、「6と6」がダメなのは明らかですね。
 最初から除外しちゃいましょう。文字を薄くしておきます。
 残った5通りのうちどれか1つが当てはまるわけですね。

図 1-4

 ところが!
 実は、もっと除外できるんです。

 例えば、マスCを見てみると「1と7」も除外できます。
 なぜなら、「1と7」を採用したらマスCに入る数字が1つもなくなっちゃう😅

 まだまだあります。
 マスDを見ると「6と2」も除外できます。
 マスEを見ると「6と7」も除外できます。
 なんと、さらに3つも除外できる!

  • 1と2。
  • 1と6。
  • 1と7。 ※マスCによりダメ
  • 6と2。 ※マスDによりダメ
  • 6と6。
  • 6と7。 ※マスEによりダメ

 たった2通りまで減ってしまいました。

図 1-5

 さて、残った2通りから何が言えるんでしょう?

  • 1と2。
  • 1と6。

 こういうことが言えるんです。

  • マスAには数字1しか可能性がない。
  • マスBには数字2, 6しか可能性がない。

 なんと、マスA, Bに入り得ない数字が生じちゃったんです。
 マスAに数字6の可能性はなくなった。
 マスBに数字7の可能性はなくなった。

 というわけで、結論はこうなります。

  • マスAから候補数字6を除去できる。
  • マスBから候補数字7を除去できる。

 これが、図1-2 で示した結論です。

2.実際に使ってみよう!

 次は、実際の盤面で Aligned Pair Exclusion を使ってみましょう。

図 2-1

 図2-1 では、とあるマスから候補数字を除去できます。
 それを解法 Aligned Pair Exclusion で突き止めてみます。

 この解法を使うためには、ある列&ブロックを1個ずつ見つけ、その交差領域の2マスに注目しなければいけません。
 列・ブロック・2マスを探しましょう!

図 2-2

 ここにありました!(図2-2)
 2マスA, Bがあって、その周りには3マスC〜Eがある。
 マスC〜Eはどれも次の2つを満たしています。

  • 候補数字を2個持っている。
  • その2個の内訳は、A, B両者の中から1個ずつ抽出したものである。

 この5マスはこういう状況になっています。
 ここから話が展開していきます!

図 2-3

 この場合の結論はこうなります。

  • マスBから候補数字9を除去できる。

 なぜでしょう?
 それは、以下の解説により「マスBに数字9が入る」という可能性がなくなってしまうからです。
 もちろん、3マスC〜Eが決め手となります。

 では、解説していきましょう。

図 2-4

 2マスA, Bに入り得る数字の組み合わせを列挙してみます。
 以下の6通りですね。

  • 2と4。
  • 2と9。
  • 5と4。
  • 5と9。
  • 7と4。
  • 7と9。
図 2-5

 しかし、マスC〜Eによって、この6通りのうちいくつかは除外されてしまいます。
 例えば、マスCを見ると「7と9」は除外されますね。
 D, Eを見ても同様に除外できます。
 すると、組み合わせは3つに減りました。

  • 2と4。
  • 2と9。 ※マスDによりダメ
  • 5と4。
  • 5と9。 ※マスEによりダメ
  • 7と4。
  • 7と9。 ※マスCによりダメ

 さて、残った組み合わせを見てみましょう。
 なんと「9」が全部消えている!
 マスBに数字9の入る可能性はなくなっちゃいました。

 というわけで、マスBから候補数字9を除去できるんです。
 図2-3 の結論通りですね😄

3.ALS を使った複雑なパターン

 今までは、2マスA, B以外のマスは候補数字を2個しか持っていませんでした。
 このセクションでは、A, B以外に Almost Locked Set(以下 ALS と略記)が登場するパターンを紹介します。
 Aligned Pair Exclusion の拡張版です。

図 3-1

 図3-1、2マスA, Bに注目しましょう。
 そして、A, B両方の属する列とブロックも見てみます。
 その中にめぼしいマスがいくつかありますね。

 盤面はこういう状況になっています。

  • A, B両者の属する列またはブロックには、候補数字を2個しか持たないマスがいくつかある。ALS がある場合もある。

 候補数字を2個しか持たないのはマスDです。
 C1, C2 からなる2マスが ALS です。

 こういう状況の時、どういう結論が待っているんでしょうか?

図 3-2

 こういう結論が待っています。

  • マスBから候補数字3を除去できる。

 では、解説していきましょう。
 まずは、2マスA, Bに入る数字の組み合わせを列挙します。

  • 3と1。
  • 3と3。
  • 3と7。
  • 5と1。
  • 5と3。
  • 5と7。
  • 9と1。
  • 9と3。
  • 9と7。

 あ、もちろん「3と3」は最初からダメです。
 全部で8通りですね。
 ここから組み合わせがちょびちょび除外されていきます。

図 3-3

 ALS(C1, C2)を見てみましょう。
 候補数字は3, 4, 9ですね。
 それを踏まえて、今度は前述の8通りの組み合わせに注目します。
 3, 4, 9を使った組み合わせに「9と3」がありますね。
 ちょっと試しに「9と3」を採用してみましょうか(図3-3)。

あっ!
C1 も C2 も4しか残ってない!

 参ったなぁ。破綻してもぅた😣

 実は、これは「9と3」だけに限りません。
 ALS の候補数字をマスA, B両方に入れてしまうと、その ALS 内部で必ず破綻が起きてしまうんです。
 3と4、3と9、4と3、4と9、9と3、9と4。
 どれも破綻が待っている。
 この6種類はすべてNGとなってしまいます。

 前図3-2 の8通りの組み合わせのうち、このNGに該当するのは「9と3」ですね。
 それを除外しちゃいましょう。

図 3-4

 あと、マスDにより「5と3」も除外できますね。
 結局、組み合わせは6通りに減りました。

  • 3と1。
  • 3と3。
  • 3と7。
  • 5と1。
  • 5と3。 ※マスDによりダメ
  • 5と7。
  • 9と1。
  • 9と3。 ※ALS(C1, C2)によりダメ
  • 9と7。

 この6つを見てみましょう。
 あら、マスBに数字3の入る可能性がなくなっちゃった!

 というわけで、マスBから候補数字3を除去できるのです。
 図3-2 の結論通りですね😊

4.align してないのに Aligned?

 今までのセクションでは、2マスA, Bはタテヨコ1列に並んでいましたね。
 本来、Aligned Pair Exclusion は「一列に並んだ2マスの候補数字が除去される」という解法なんです。
 なんたって「Aligned Pair」ですもんね。
 ところが、とある事実が判明したんです。2マスは一列に並んでいなくても良いというのです!

図 4-1

 図4-1 の盤面にはマスA, Bがあります。
 が、今までとは違ってタテヨコ1列に並んでいません。
 なんと non-aligned pair ですね!

 そして、マスA, B両方と列やブロックを共有しているマスがいくつかあります。
 黄色部分で、6個ありますね。
 その中に、次の2つを満たすマスがチラホラあります。

  • 候補数字を2個しか持っていない。
  • その2個の内訳は、A, B両者の中から1個ずつ抽出したものである。

 こういう状況だったとしましょう。

図 4-2

 結論はこうなります。

  • マスBから候補数字7を除去できる。

 理由は同じです。
 マスA, Bに入る数字の組み合わせは9通り。しかし、そこから3つを除外できるんですね。

  • 2と4。
  • 2と6。
  • 2と7。 ※マスDによりダメ
  • 4と4。
  • 4と6。
  • 4と7。 ※マスCによりダメ
  • 9と4。
  • 9と6。
  • 9と7。 ※マスEによりダメ

 残った組み合わせを見ると、マスBに数字7の入る可能性はなくなってしまいました。

 こんなふうに、2マスが align(整列)していなくても同じ理屈が成り立っちゃう。
 こういうパターンもあるんですね。
 この場合の解法には固有の名前がついていないようですが、「Subset Exclusion」と呼ぶことがあります。
 Subset Exclusion のページでは、実例も含めて解説しています。

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