【解法】Reverse BUG

　図1-1、ポツポツと黄色６マスが並んでいます。
　どの黄色マスにも数字が入っていますね。
　黄色全体を見ると、次の状況になっています。

• どの黄色マスにも数字１, ２どちらかが入っている。
• 黄色マスの属するどの列やブロックを見ても、黄色マスが２つある。さらに、その２マスには数字１, ２が１個ずつ入っている。

　例えば、左端のタテ列には黄色マスがちょうど２つありますね。
　その２マスには数字１と２が１個ずつ入っている。
　これは、黄色マスの属する列・ブロックすべてに言えることです。

　さて。
　この黄色６マス、実は、大きな特徴が１つあるんです。

　数字を交換しても完成図ができる！

　他の数字でマス全部を埋めると、図1-2 左側のように完成図ができあがります。
　しかし、そこから黄色マスの１と２を交換すると 図1-2 右側のようになる。

　あら、これも完成図になってるよ！
　実は、白マスの状況にかかわらず、黄色６マスをいじると完成図をもう１つ作れるんですね。

　この黄色マスのように、数字を交換してもまた完成図になっている。
　これが黄色６マスの大きな特徴なんです。

　盤面にはいろんな unavoidable set が潜んでいます。
　形もマス数もさまざまです。

　例えば、数字４, ５の set。
　緑色の４マスです。
　ちっちゃい😊

　他には数字７, ９の set もあったり。
　青色の14マスです。
　おぉ、ずいぶん多い！

　ここまでは数字２種類の unavoidable set を紹介しました。
　もちろん、３種類以上の数字からなる物も存在します。
　例えば、図1-4 の黄色８マスです。

　……が、実は Reverse BUG で扱うのは数字２種類の物だけです。
　なので、以降は数字２種類に限定して unavoidable set を扱うことにします。

　ちなみに、数字２種類の場合、マス数の最大は18マスです。

　図2-1 を見てみましょう。
　完成図ですが、数字１と２にだけ注目していきます。

　まずは黄色６マス。
　前セクションで説明した通り、この６個の数字１, ２は unavoidable set です。
　黄色マスの１と２を交換しても完成図ができますもんね。

　では、今度は残りの数字１, ２に注目しましょう。
　赤色12マスの数字１, ２です。
　ここで、ちょいと試しに赤色マスの１と２を交換してみましょうか。

　あら！
　これも完成図になってるよ！！

　なんと、黄色マスだけかと思いきや、赤色マスも同じ性質を持っていた！
　赤色12マスも unavoidable set だったんですね。
　これが unavoidable set のもう１つの性質です。

　一般的な話をしましょう。
　これが成り立つんです。

• 数字ａ, ｂで構成される18マス未満の unavoidable set が見つかった時、残りのマスでも数字ａ, ｂの unavoidable set が必ず見つかる。

　18マス未満の unavoidable set は必ず複数存在する。
　ここが重要なんです。

　unavoidable set クン、君は独りぼっちじゃないのさ。

　ところで。
　unavoidable set のマス全部が空きマスだと非常にマズいわけですね。
　複数解が生じてしまうから。

　ということは、ナンプレ制作者側としては複数解を防ぐ手立てが必要です。
　具体的には、set 内部のどこかにヒント数字を置かなきゃいけません。
　そんなわけで、次が成り立つんです。

• すべての unavoidable set において、最低１マスにはヒント数字が存在する。

　図2-3 だと次の２つが必要です。
　最低１つの黄色マスにヒント数字を配置する。
　最低１つの赤色マスにヒント数字を配置する。

　黄色＆赤色、両者ともヒント数字を抱えなきゃいけないんですね。
　「両者とも」です。

　逆に、もし片方の unavoidable set にしかヒント数字が存在しなかったとしたらどうなるか。
　例えば、赤色マスがヒント数字１, ２を独占していたとしたら……？

　もぅもぅ明らかですね。
　図2-4 の通りです。
　赤色部分は一意に決まっても、黄色部分では複数解が発生してしまうんです。

　というわけで、こんなことが言えます。

• 数字ａ, ｂで構成される18マス未満の unavoidable set は、ヒント数字ａ, ｂを独占できない。

　小さな unavoidable set がヒント数字を独占してしまう。
　こういう状況はＮＧなんですね。
　そして、その状況になりかけている時、解法 Reverse BUG の出番がやってくるんです。

　図3-1 を見てみましょう。
　問題図から少しだけ解き進めたところです。
　ヒント数字があちこちに散らばっていますが、ここではある２種類の数字に注目します。
　３と６です。

　この２つの数字、よく見たらたった３箇所にしかありません。
　すべて黄色４マス内部にあるんですね。

　ここで「もしマスＡに数字３が入ったとしたら……？」な〜んて考えると、解法 Reverse BUG で解決の糸口が見えてきそうです。

　前図3-1 からはどういう結論になるんでしょう？
　こうなります。

• マスＡから候補数字３を除去できる。

　あらら。
　「もしマスＡに数字３が入ったとしたら……？」なんて言ってたら、その数字３が消えちゃうのね😓

　なぜこういう結論になるのか？
　その理由には unavoidable set が深く関わってきます。
　それを今から説明しましょう。

　もしマスＡに数字３が入ると、黄色４マスで数字３, ６の unavoidable set ができあがる。
　その黄色 set はヒント数字３, ６をすべて独占しちゃってる。
　こりゃぁマズい！　複数解が発生してしまう！
　……というわけなんです。

　もう少し詳しく説明しましょう。
　「マスＡに数字３が入る」と仮定したらどうなってしまうのか？

　黄色４マスでは数字３, ６の unavoidable set ができました。
　ここで、前セクションの話を思い出しましょう。
　こういうことが成り立つんです。

• 数字３, ６からなる unavoidable set はもう１つ存在する。

　18マス未満の unavoidable set は複数存在する。
　つまり、黄色以外にも unavoidable set が必ずどこかにある。
　図3-3 だと、青色領域上にもう１つの unavoidable set が隠れているんです。
　14マスで構成される、数字３, ６の set です。

　今のところ、その set の姿は見えません。
　しかし、存在することは確かです。

　この青色領域に目を向けましょう。
　さて、この領域にヒント数字３と６はあるでしょうか？

なんと、１つもありません！

　これは何を意味するのか？
　解き進めていくと姿が露わになるであろう青色 unavoidable set は、もぅ……こういう状態になってしまっているんです。

• 数字３, ６からなる unavoidable set なのに、ヒント数字３と６が１つもない。

　つまり、複数解を持つことが約束されてしまう！

　これはマズい。
　複数解は避けなければいけないのに😞
　よって、「マスＡに数字３が入る」という仮定は却下せざるを得なくなったわけです。

　図3-2 の結論通りになりましたね😊

　図4-1 を見てみましょう。
　問題図から６マス埋まったところです。
　今回注目する数字は２と９です。

　この２種類の数字、すべて黄色領域の中にしかありません。
　しかも、マスＡには候補数字９、マスＢには候補数字２。
　いかにも「Reverse BUG を使え〜使え〜！」と言わんばかりの雰囲気が漂ってます😅

　前図4-1 からは最終的にこうなります。

• マスＸに数字３が確定する。

　なぜこういう結論になるんでしょう？
　それを解説しましょう。

　まず、解法 Reverse BUG によって、こういう結果が得られます。

• 「Ａ＝９ かつ Ｂ＝２」は成り立たない。

　なぜか？
　もし仮にマスＡに９、マスＢに２を入れてしまうと、複数解が避けられなくなるからです。
　黄色８マスで unavoidable set ができあがるけれど、盤面に５つあるヒント数字２, ９を独占してますもんね。

　というわけで、次のどちらかは成り立つことになりました。

• マスＡから候補数字９が除去される。
• マスＢから候補数字２が除去される。

　それぞれ話を進めてみましょう。
　前者の場合、マスＡの候補数字は５, ７になりますね。
　すると、ブロック内部で２マスＡ, Ｃの２国同盟が発生！
　そのあおりを受けて、マスＸには数字５も７も入れられなくなっちゃいました（図4-3）。

　後者の場合も同様です。
　マスＢの候補数字は５, ７になり、ヨコ列内部では２マスＢ, Ｃの２国同盟が発生します。
　よって、マスＸには数字５も７も入れられません。

　どちらにしろ、マスＸに数字３が確定するわけですね。
　図4-2 の結論通りになりましたね😊

　まずは、最小値です。
　これは、次の状況の時に最も少なくなります。

• すべての unavoidable set が18マスで構成されている。

　つまり、「どの数字ペアに対しても unavoidable set は１個しかない」という状態ですね。
　例えば、図5-1 の盤面はそういう状態になっています。

　この場合、unavoidable set の個数はいくつになるのか？
　数字ペア１組に対して set が１個対応するわけなので、９つの数字から２つを選ぶ場合の数と同じですね。

　というわけで、最小値は36個でした😊

　次は最大値です。
　まず、特定の数字ペアに対する unavoidable set は最大何個できるのかを考えてみます。
　例えば、数字１, ２の unavoidable set は最大何個作れるんでしょう？

　答えは４個です。
　図5-2 のような形ですね。
　赤色、青色、黄色、緑色。全部で４つ。

　ペア１組あたり最大４個の set ができる。
　ということは、unavoidable set の最大個数は次の式で求まりそう。

　ただ、困ったことがひとつ。
　９×９の狭い空間に全ペア４個ずつ詰め込めるんだろうか……？
　そんな都合の良い完成図は無理かもしれません。
　だから、理論上は144個が最大ということにしておきましょう😊