【解法】Trivalue Oddagon

　図1-1 を見てみましょう。
　随分とまた黄色マス達が綺麗に並んでる！
　この12マスが Trivalue Oddagon の舞台です。

　ここで、この12マスについて説明しましょう。

• 黄色12マスは３マスずつ４つのブロックに存在する。
• ブロック内部では、黄色マスは対角線を描くように斜めに並んでいる。また、右上がり/右下がり どちらの対角線も奇数個ある。
• 黄色マスの候補数字はすべて同じ３種類である。
• 黄色マスの属する４つのブロックは２×２の矩形をなすように並んでいる。

　対角線の方向が 3：1 または 1：3 に分かれていることに注意してください。
　2：2 や 4：0 など偶数はＮＧです。

　いや〜、ホントすごく綺麗な形だ🥰
　なんだか45°傾けたハンマーのようにも見えてくる。
　クルッと回せば起動スイッチのマークに見えないこともない😅

　実は……これ、不可能なんです。
　黄色９マスをどう埋めたとしても、最後で困ってしまう。
　青色マスのどこかで必ず破綻するんです（図1-2）。
　悪戦苦闘した皆さん、ホントごめんなさい🥺

　結末はまさかの破綻だった。
　いや、もしかしたら数字の入れ方が悪かっただけなのかもしれない！
　本当に必ず破綻するのかどうか、実際に確認してみましょうか。

　黄色12マスのうち、４マスは矩形をなす配置をしています。
　図1-3 の緑色４マスです。

　まず、この４マスを数字１, ２, ３で埋めることを考えましょう。
　この場合、ある数字はどうしても２個必要になっちゃいますね。
　４マスあるのに数字は３種類しかないですもんね。

　ここでは、数字１が２個入ったとしましょう。
　その２個は、対角をなすブロックに配置されます。
　例えば 図1-3 のように。
　他の２マスには数字２か３が入りますが、その情報は不要なので、「？」とお茶を濁しておきます。

　また、数字１の斜め隣には２と３が入るので、ついでに入れちゃいましょう。
　これで２ブロックが完成！

　では、残りの２ブロックはどうか？
　さっき配置した２と３に応じて、一方のブロックを検証しましょう。
　ここでは、図1-4 の赤色２マスに注目してみます。
　このマスに入る数字は１〜３のどれでしょうか？

あっ。
どっちも１しか入れられないじゃん！

　これで、破綻が起こることが示されました😵
　この黄色12マスを数字１〜３だけで埋めることは不可能なんですね。

　12マスの条件があんなにも美しく整っているのだから、数字も美しく並びそうなもの。
　なのに、現実は悲劇が起こってしまった。
　泣ける🥺

　ナンプレのフォーラム『The New Sudoku Players' Forum』では自作のナンプレを自由に投稿でき、みんなで解いて感想や議論に花を咲かせています。

　図2-1 は、Loki (SER 11.9) と題したスレッドで実際にフォーラムに投稿されたナンプレです。
　スレッド名の通り、このナンプレ問題には「Loki」という名前が付いています。

　前図2-1 から３マス埋まりました。
　ここで、黄色12マスを見てみましょう。

• 黄色12マスの配置は前セクションと同じ形。
• 11マスには候補数字３, ５, ７しかないが、マスＡだけは候補数字１も持っている。

　マスＡに現れた新しい候補数字「１」。
　これが非常に大きな存在です。

　セクション１の話を思い出しましょう。
　今、図2-2 の12マスは風前の灯です。
　もし、マスＡの候補数字１が消えてしまったら……？

そう。破綻が起こる。
「悲劇よ再び！」になってしまうのです。

　それだけは絶対に許してはならぬ！

　というわけで、前図2-2 からの結論はこうなります。

• マスＡに数字１が確定する。

　図2-3 の通りです。
　颯爽と現れた新しい候補数字「１」が何食わぬ顔でマスを独り占めしていきました😊

　この新しい候補数字には名前が付いています。
　guardian と呼びます。
　解法 Trivalue Oddagon は「破綻を避ける」が大事なキーワード。
　そのキーワードに沿って、guardian 達が大活躍していくんです。

　図3-1 はこういう状況です。

• 黄色12マスの配置はいつもの形。
• 黄色マスの候補数字は２, ６, ９のみ。ただし、２マスＡ, Ｂには他の候補数字もある。

　なんと、今度は guardian が２人も現れた！
　マスＡの４、マスＢの７です。
　この場合の結論はどうなるんでしょう？

　結論はこうなります。

• 「マスＡに数字４が入る」「マスＢに数字７が入る」の少なくとも一方が成り立つ。

　解法 Trivalue Oddagon の本質は次の一言に集約されます。

guardian を全滅させてはならない。

　理由はもちろん、破綻を回避するため。
　だから、Ａ＝４ または Ｂ＝７ の少なくとも一方が成り立たないといけないわけですね。

　前セクションのように数字が直接確定するわけではないですが、この結論からもう少し進めてみましょう。
　実は、次のように話が展開します。

• マスＣから候補数字７を除去できる。
  その後、マスＤに数字３が確定する。

　Ａ＝４ の場合は、左中ブロックに注目すればマスＣに数字４が入ることがわかる。つまり、Ｃに７は入れられません。
　Ｂ＝７ の場合は、当然、Ｃに７を入れられません。
　どっちにしても、マスＣに数字７は入らないことになる。

　あとは、青色２マスで２国同盟が発生し、そのおかげでマスＤに数字３が確定するわけですね。
　あとは難しい手筋もなく大団円。
　めでたしめでたし😄

　「３つの値」を表す単語があるのなら、もちろん「２つの値」を表す単語があってもおかしくはない。
　事実、『Bivalue Oddagon』という解法も存在します。

　その土台となる理論は 図4-1。
　同じ２種類の候補数字しかない奇数個のマスが繋がって、奇数角形をなしています。
　実は、この奇数角形、既に破綻が起きている悲しい図形です。

　だから、解法 Bivalue Oddagon は、このマス達に guardian が加わった状況で使われます。
　論理展開は Trivalue Oddagon と同じ。「guardian を全滅させてはならない」という理屈でシナリオが進みます。
　ナンプレフォーラム『The New Sudoku Players' Forum』の 【TECHNIQUE SHARE】Odd Bivalue Loop(bivalue oddagon) というスレッドで一例が示されているので、詳細はそちらをご覧ください。

　その盤面をもう一度（図4-2）。
　この配置、どう目を凝らしてもこの疑問が湧いてくる。

奇数角形はどこだ……？

　当の盤面に存在しているのはハンマーや起動スイッチみたいな配置であり、奇数角形どころか多角形の面影すらない。
　そもそもマスは12個。まったく奇数ではない。
　オダゴンのオの字もありゃしない😅
　一体、どこら辺が「oddagon」なんだろうか？

　発端となったのは「The hardest sudokus (new thread)」というスレッドです。
　その55ページ目にある 投稿記事 から話は始まった。
　図4-3 のような黄色12マスを見つけ、「矛盾を示すのにどんな種類の魔法が必要なんだ😄」と投稿者は驚いたそう。

　その発言に対する最初のレスが「一種の trivalue oddagon に似てるかな？」でした。
　続けて「２マスＡの両方に数字を入れると、３マスＢのどこかに第三の数字が必要になる。でもその数字をＢのどこに入れてもうまくいかないですね」という趣旨の説明もしています。
　この魔法のような配置に他の投稿者達も魅了されたのか、さまざまな証明や独自の考察を持ち寄って議論に花が咲きました。

　図4-3 の12マスをよく見ると、明らかに候補数字は３種類しかない。
　しかも、Ａ, Ｂの５マスで五角形ができる。
　「あぁこれは trivalue oddagon っぽいね😃」と言われれば、たしかに首を縦に振れるというものです。

　肯定派の意見の一例を紹介しましょう。
　候補数字は全３種類なのだから、とりあえず１つめの数字でマスを埋めてみて trivalue oddagon の性質を深く探ってみる。そういうアプローチで調査するのは至って自然ですね。
　というわけで、実際に埋めてみる。
　で、残りの８マスをよ〜く見ると……（図4-4）、

あれ？
なんか、さっきの悲しい図ができてない？

　７マスで七角形ができちゃった😅
　図4-1 で説明した bivalue oddagon の悲劇再来、というわけです。
　このことから、「trivalue oddagon は bivalue oddagon を内包している」と言えるんですね。

　「これはもぅ trivalue oddagon という名前がピッタリっしょ😃」と言われれば、もぅ首を縦に振らざるを得ないというものです。