【解説】ナンプレの複数解

 ナンプレには正解は1つしかありません。
 そのため、「解が複数あるのはNG!」を根拠にした解法が生まれました。
 その解法を知る前に、まずは「ナンプレの複数解とはどういうものか?」について理解しなければいけません。
 このページでは複数解について解説していきます。

1.ナンプレは解を1つしか持たないパズルである

 雑誌やスマホアプリなどで世に出ているナンプレを解いていくと、すべてのマスが数字で埋まって解き終えることができますね。
 これは「ナンプレの解はただ1つしかない」ということを意味しています。
 しかし、実は、ナンプレのルールには「解は1つしか持たない」という文言がありません。
 タテ・ヨコ・ブロックに関するルールはあるけれど、解の個数については明記されていないんですね。

 でも、何百何千と解いてきた方々でも、複数解を持つナンプレを目にしたことはほとんどないと思います。
 あったとしてもそれは出題者側のミスで、後にお詫びが掲載されたりする。
 というのも、ナンプレは「解は必ずただ1つ」が原則であり、複数解を持つナンプレは良い作品とは認められないからなんです。

 そうなると、その原則に則った解法が考え出されてもおかしくありません。

解はただ1つしかない。
じゃぁ、複数解が生じるような理屈はおかしいんじゃない?

 こういうわけですね。
 そういう観点から Unique RectangleBivalue Universal Grave などの解法が生まれていきました。

 実は、複数解を利用した解法は多く存在します。
 そして、各解法の対象となる複数解パターンもいろいろ存在します。
 そこで、このページではいろんな複数解パターンを紹介していきましょう。
 複数解に関連して unavoidable set という概念もあるので、それも紹介します。

2.複数解の起こるパターン

 「複数解が起こらない!」ということを根拠にした解法がナンプレには数多く存在します。
 ただ、その前に「複数解とは何ぞや?」というところから話をしなきゃいけません。
 そこで、このセクションでは、複数解の起こってしまうパターンについて解説していきます。

2-1.最も簡単な複数解パターン

 まず、最も簡単な複数解パターンを紹介します。

図 2-1

 図2-1、黄色4マスが矩形状に並んでいますね。
 この4マスは次の状況になっています。

  • 黄色4マスは、タテ2列・ヨコ2列・ブロック2個にのみ属している。
  • どの黄色マスも候補数字は2つだけ。しかも、すべて同じ。

 黄色マスを含むヨコ列は2つあります(2行目と4行目)。
 黄色マスを含むタテ列は2つあります(2列目と3列目)。
 黄色マスを含むブロックは2つあります(左上隅とそのすぐ下)。
 そして、黄色4マスはすべて数字1と2しか入れられません。

 こういう特徴があるんですね。

図 2-2

 ナンプレを解く上で、前図2-1 のような箇所があると不都合が生じます。

最後まで解き終えることができないんです。

 一応、うまいこと解き進められれば、図2-2 のように 77マスまでなら数字で埋められるかもしれません。
 ところが、これ以上マスが埋まらない。
 どうしてもここから先へ進めない!

図 2-3

 それもそのはずで、前図2-2 の状況からは完成図を2種類作ることができるんです。
 図2-3 の通り。

 黄色マスのどれか1つに数字1を入れても数字2を入れても完成できてしまう。
 もちろん、両者の完成図は異なるから、解が複数あるわけなんです。

 結局、図2-1 の状況が生まれてしまった時点で、そのナンプレは必ず複数解を持つ。
 これはどうしても免れないんです。

 「このマスはこの数字で確定する!」
 これが最後の1マスまで続くから、ナンプレは完成まで解き進めることができます。
 ところが、複数解パターンがあるとその流れは途絶えてしまう。
 なぜなら、図2-2 のように数字の確定できる空きマスが1つもなくなってしまうから。
 どうしてもゴールにはたどり着けないんです。

 論理的にゴールにたどり着いてもらうために、ナンプレは必ず唯一解を持つように作られています。
 そのようなナンプレを解いている時、複数解パターンが現れることは絶対にないんです。

図 2-4

 前図2-3 に関連して、もうひとつ注意すべきことがあります。

  • 解いている途中で 図2-4 左上のような数字の並びは絶対に現れない。

 この黄色4マスの数字はヒント数字(問題図に最初からある数字)ではなく、解いている途中で書き込まれた数字です。
 何もないところから1221の形は生まれないということですね。

 なぜかというと、たとえこの状態から 前図2-3 左側のように完成したとしても、この4マスの1と2を交換して 図2-3 右側の形にもできてしまうからです。
 1221の形がある時点で、もう複数解は免れないんですね。
 だから、この1221型の並びは現れません。

 ただし、図2-4 右下のように4つのうち最低1つがヒント数字(黒色)だったなら、1221型は普通に現れます。

 「複数解はNG」という視点で見ると、図2-1 も 図2-4 も致命的な状況だと言えます。
 だから、その状況を逆手に取った理屈が思い浮かび、それが解法へと発展していった。
 現に、図2-1 からは解法 Unique Rectangle が生まれ、図2-4 からは解法 Avoidable Rectangle が生まれています。

 ちなみに、図2-4 の形は両方とも unavoidable set と呼ばれます。
 あまり深く覚える必要はありませんが、知りたい方々はセクションをご覧ください。

2-2.他の複数解パターンもあるよ!

 マス数が増えた複数解パターンも紹介しましょう。
 例を2つ挙げて解説します。

図 2-5

 まずは1つめ。
 このような形は解法 BUG Lite に登場します。

 図2-5 を見てみましょう。
 4マスからちょっと増えました😊
 マスがこぢんまりと並んでいますが、黄色全体を見ると次の特徴があります。

  • どの黄色マスを見ても、候補数字は2つしかない。
  • 黄色マスを持つどの列やブロックを見ても、黄色マス内部の候補数字はそれぞれ2回ずつしか現れない。

 例えば、左端のタテ列には黄色マスが3つありますが、その候補数字1, 2, 4はそれぞれ2回ずつ現れています。
 左上ブロックでは候補数字1〜4が2回ずつ現れていますね。

図 2-6

 この場合も、うまく解き進められれば 図2-6 のように白マス全部を埋められるかもしれません。
 しかし、やっぱりこれ以上マスが埋まらないんです。
 どうしても先へ進めない😞

 図2-6 からも完成図は2種類できあがります。
 このナンプレも複数解を持つんですね。

図 2-7

 2つめの例。
 このような形は解法 Bivalue Universal Grave に登場します。

 図2-7 です。
 さらに多くなりました。
 なんと、黄色マスは 20個以上!
 これだけあっても、図2-5 と同じ特徴を持っているんです。

  • どの黄色マスを見ても、候補数字は2つしかない。
  • 黄色マスを含むどの列やブロックを見ても、黄色マス内部の候補数字はそれぞれ2回ずつしか現れない。

 図2-7 からも完成図は2種類できあがります。
 このナンプレも複数解を持つんですね。

2-3.複雑な複数解パターン

図 2-8

 今までは、どのマスも候補数字が2個しかありませんでした。
 もちろん、3個以上の場合でも複数解パターンは存在します。
 ただ、それを活用する解法はほぼ無いので、紹介だけ。

 例えば 図2-8 ですね。
 この黄色10マスには候補数字1〜4が散らばっていますが、今までのようなハッキリとした特徴はありません。

 図2-8 から白マスをすべて埋めたとしても、完成図は5種類できあがります。
 やはり、このナンプレも複数解を持ってしまうんですね。

 最後に、複数解NGを根拠とする解法についてちょいと真面目な話をひとつ。

 複数解がNGだとはルールで規定されていません。
 「必ず唯一解を持つ」というのは、作り手たちの持っている共通認識に過ぎないんですね。
 だから、ルールにも書かれていない勝手な認識を解き手に要求するというのは、本当はおかしな行為です。
 そういう意味で、Unique Rectangle など唯一解を拠り所とする解法は本筋であるとは言いづらいんですね。
 作り手の立場からすると、こういう裏筋の解法を必須とするナンプレ問題は作るべきではありません。

 しかし、解き手の立場で見ると話はガラッと変わります。
 ナンプレを解く時に、皆さんはいちいちそんな裏事情を気にする必要はありません。
 本筋だの裏筋だのは正直ど〜でもいい話。
 楽しく解けりゃぁそれで良いのです😊

 逆に、解き手だけでなく作り手の視点も味わえる。これもまたナンプレの面白いところですね。
 裏事情ひとつでナンプレの世界をさらに知る。これもまたオツなものです。

3.Unavoidable Set

 複数解パターンの他にも、数字の並びに複数解が関係することもあります。
 それについて解説していきます。

3-1.unavoidable set とは何ぞや?

図 3-1

 図3-1 を見てみましょう。
 こぢんまりと散らばった黄色6マスに数字が入っていますね。
 黄色全体を見ると、次の状況になっています。

  • どの黄色マスにも数字1, 2どちらかが入っている。
  • 黄色マスの属するどの列やブロックを見ても、黄色マスは2つある。さらに、その2マスには数字1, 2が1個ずつ入っている。

 例えば、左端タテ列には黄色マスがちょうど2つありますね。
 その2マスには数字1と2が1個ずつ入っている。
 これは、黄色マスの属する列・ブロックすべてに言えることです。

 実は、この黄色6マスには大きな特徴が1つあるんです。

図 3-2

 数字を交換しても完成図ができる!

 他のマスを全部埋めると、図3-2 左側のように完成図ができあがります。
 そこから黄色マスの1と2を交換してみると、図3-2 右側のようになる。

 あら、これも完成図になってるよ!
 白マスの数字はそのままに、黄色6マスをいじるだけで別の完成図を作れるんですね。

 図3-2 の黄色マスのように、数字を交換してもまた完成図になれる。
 黄色マスのこのような数字配置を unavoidable set と呼びます。

 ここで、unavoidable set の性質を1つ紹介しましょう。
 複数解に関する性質です。
 実は前セクションの 図2-4 で軽く触れてはいますが、図3-4 でもう一度解説します。

図 3-3

 今、黄色6マスがすべて空きマスだったとしましょう(図3-3)。
 この盤面、どういう状況になっているでしょうか?

 あぁ……こりゃ非常にマズい!
 複数解パターンになってしまってる😞

 そう、数字を全部取っ払うと複数解が生じてしまうんです。
 もちろん、これはNGです。
 ということは、作り手の立場からすると複数解を回避する手段が必要になる。
 具体的には、どれかの黄色マスにヒント数字を置かなきゃいけません。

 というわけで、こういうことが成り立つんです。

  • どの unavoidable set にも必ずヒント数字が存在する。

 unavoidable set はヒント数字を最低1つ抱えなきゃいけない。
 逆に言えば、ヒント数字のない unavoidable set は存在してはならない。
 こういうことなんですね。

図 3-4

 それを踏まえて、前セクション 図2-4 の盤面をもう一度(図3-4)。
 これを unavoidable set の視点でおさらいしましょう。

 左上の黄色4マス、これは unavoidable set です。
 そして、どの数字もヒント数字ではありません。
 この形はマズいんですね。複数解パターンが生じてしまうから。
 こういう set はあってはならないんです。

 対して、右下の4マス、これも unavoidable set です。
 ただ、今度はヒント数字がありますね。
 この4マスからは複数解は生じません。
 こういう set はあってもOKなんです。

 図3-1 のような形の unavoidable set は、解法 Reverse BUG で使われます。
 詳細は Reverse BUG のページをご覧ください。

3-2.2列に存在する unavoidable set

 実は、unavoidable set には他の形も存在します。
 それを解説しましょう。

図 3-5

 図3-5 を見てみましょう。
 黄色6マスが整列しているように見えますね。
 黄色全体を見ると、次の状況になっています。

  • 黄色マスはヨコ2列にのみ存在している。また、その2列は同じ chute に属している。
  • 黄色マスの属するどのタテ列を見ても、黄色マスが2つある。
  • ヨコ2列とも、黄色マスに入っている数字の組み合わせは同じである。

 黄色マスは上から2行目&3行目に存在しています。
 そして、どちらのヨコ列も黄色マス内部の数字は1〜3ですね。
 「chute」については 図3-7 で説明することにしましょう。

 実は、この黄色6マスには大きな特徴が1つあるんです。

図 3-6

 数字を交換しても完成図ができる!

 他のマスを全部埋めると、図3-6 左側のように完成図ができあがります。
 そこから黄色マスの数字を上下まるごと交換してみると、図3-6 右側のようになる。

 おぉ、これも完成図になってるじゃぁないか!
 白マスの数字はそのままに、黄色6マスをいじるだけで別の完成図を作れるんですね。

 図3-6 の黄色マスのように、数字を交換してもまた完成図になれる。
 このような数字配置も unavoidable set なんです。

 そういえば、新しい用語が現れていましたね。
 「chute」です。シュートと読みます。
 さて、chute とは何ぞや?

chute とは何ぞや?
図 3-7

 chute とは、ブロック3個並んだ3×9マスの領域です。
 chute にはヨコ長とタテ長の2種類があります。
 3×9のヨコ長の chute を floor と呼びます。
 9×3のタテ長の chute を tower と呼びます。
 図3-7 では、ヨコ2列とも青枠の floor に存在しているわけですね。

 実は、2列から生まれる unavoidable set において、その2列は次の条件を満たさなければいけません。

  • 2列とも同じ chute 内部に存在する。

 2列が同じ chute 内部にないと、前図3-6 のような数字交換はできません。
 ご注意ください。

 セクション3-1でも解説しましたが、ここでも unavoidable set の性質をご紹介。
 複数解に関する性質です。

図 3-8

 今、黄色6マスがすべて空きマスだったとしましょう(図3-8)。
 この形、非常にマズいですね!
 複数解パターンになってしまってる😞

 図3-3 と同様で、数字を全部取っ払うと複数解が生じてしまうんです。
 もちろんこれはNG。
 図3-3 と同様にヒント数字を配置する必要があります。
 というわけで、こういうことが成り立つんです。

  • どの unavoidable set にも必ずヒント数字が存在する。

 unavoidable set はヒント数字を最低1つ抱えなきゃいけない。
 逆に言えば、ヒント数字のない unavoidable set は存在してはならない。
 こういうことなんですね。

 この形の unavoidable set は、解法 Reverse BUG Lite で使われます。
 詳細は Reverse BUG Lite のページをご覧ください。

3-3.複雑な unavoidable set

図 3-9

 今までは、簡単な unavoidable set を紹介しました。
 数字が2種類だけだったり、2列だけだったり。
 もちろん、さらに複雑な unavoidable set は存在します。
 ただ、それを活用する解法はおそらく無いので紹介だけ。

 例えば 図3-9 ですね。
 この黄色9マスに並んだ数字1〜4です。
 この9つの数字を適度に交換すると別の完成図ができあがります。

 ちなみに、図3-9 の黄色マスがすべて空きマスだったとすると、前セクションの 図2-6 になります。
 unavoidable set のどこかにヒント数字がなければ複数解が生じてしまう、ということの一例になっています。

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